2020 Fiscal Year Research-status Report
Various Approaches to Computationally Hard Combinatorial Optimization Problems
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18K11183
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
陳 致中 東京電機大学, 理工学部, 教授 (00242933)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | k-パス分割問題 / 近似アルゴリズム / 最大2-マッチング問題 / ならし解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（有向または無向）グラフGのk-パス分割とは，下記の条件をすべて満たす「Gの長さk未満のパスの集合P」のことをいう．
(1) Pに属するパスが頂点を１つも共有しない．
(2) Gの各頂点がPのどれかのパスに現れる．
「k-パス分割問題」とは，グラフGが入力されたとき，Gのk-パス分割の中でサイズが最も小さいものを１つ見つける問題のことをいう．2-パス分割問題は明らかに最大マッチング問題と同じで，多項式時間アルゴリズムで解ける．一方，kが3以上であるとき，（入力を無向グラフに限定したときでさえ）k-パス分割問題がNP困難であることが古くから知られている．本研究では，k-パス分割問題の多項式時間近似アルゴリズムをいくつか設計して解析した．
まず，無向k-パス分割問題（入力を無向グラフに限定したときの問題）について研究を行った．結果として，kが9以上であれば，近似率(k+4)/5の多項式時間近似アルゴリズムが存在することを示せた．次に，有向k-パス分割問題（入力を有向グラフに限定したときの問題）について研究を行った．結果として，kが5以上であれば，近似率(k+2)/3の多項式時間近似アルゴリズムが存在することを示せた．さらに，有向k-パス分割問題の特別な場合（長さ2の有向サイクルを持たない有向グラフに限定した場合）について研究を行った．結果として，kが7以上であれば，近似率(k+3)/4の多項式時間近似アルゴリズムが存在することを示せた．
上記の近似アルゴリズムを得るために，最大2-マッチング問題の多項式時間アルゴリズムとならし解析を活用した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
k-パス分割問題の様々なバージョンについて研究を行い，従前の近似アルゴリズムよりよい近似率を達成する新しい近似アルゴリズムを設定することができた．現在，研究成果を論文としてまとめている最中であり，近いうちに国際会議または学術論文誌に投稿する予定である．
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| Strategy for Future Research Activity |
kが9未満の場合 無向k-パス分割問題が近似率(k+4)/5の近似アルゴリズムを持つかどうかはまだ不明なので，9より小さい整数kそれぞれについて無向k-パス分割問題の自明ではない近似アルゴリズムを設計する予定である．
kが5未満の場合 有向k-パス分割問題が近似率(k+2)/3の近似アルゴリズムを持つかどうかはまだ不明なので，9より小さい整数kそれぞれについて有向k-パス分割問題の自明ではない近似アルゴリズムを設計する予定である．
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| Causes of Carryover |
春休みと夏休みにそれぞれ1ヶ月の海外出張を予定したが，新型肺炎のせいで中止せざる得なかった．
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