2018 Fiscal Year Research-status Report
New development of shrinkage estimation methods in statistical inference
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18K11188
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
久保川 達也 東京大学, 大学院経済学研究科(経済学部), 教授 (20195499)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 縮小推定 / 線形混合モデル / 小地域推定 / 高次元統計 / ミニマックス性 / スタイン問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，統計的推測において直面している諸問題に対して，数理統計の立場から縮小推定による新たな解決策を導出し，推定誤差の漸近２次近似による評価や有効性・最適性などに関する理論的な性質を調べ，現実のデータ解析を通して応用面からの有用性を示すことを目的とした。具体的には，（Ａ）混合効果モデルを利用した小地域推定理論の新展開，（Ｂ）多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開，（Ｃ）高次元多変量モデルにおける縮小推定法の有効性・有用性，の３つの問題を扱った。いずれも従来の統計手法をそのまま用いたのでは問題があり，縮小推定手法が従来の手法の欠陥を解決していて，しかも理論的及び応用的側面から従来の手法を優越することを示した。具体的には，以下の通りである。
問題（A）については，正のデータを正規分布を用いて分析することの問題点をリンク関数を用いて解決する手法を導出した。また予測分布と共変量が異なる問題において条件付き赤池情報量規準を提案し，小地域推定への応用を与えた。さらに，ベイズ的周辺分布に基づいた赤池情報量規準の修正を行った。
問題（Ｂ）については，ｋ標本のp次元多変量正規分布の平均ベクトルの同時推定問題を考えた。k個の平均ベクトルが等しいという同等性の仮説が疑われるときには，同等性に関する予備検定推定量を用いるのが従来の方法であるが，微分不可能な点を含むため許容的ではない。この問題に対して，適切な事前分布を提案し許容的でミニマックスな推定量の導出とそのためのp, kに関する条件を求めた。
問題（C）については，高次元の平均ベクトルの線形縮小推定量の導出と漸近的な性質を与えた。また同様な考え方に基づいて平均の情報を用いた分散の線形縮小推定量を求め，その良さを数値的に確かめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
混合効果モデルを利用した小地域推定理論の新展開については，まず，正の母数平均に回帰項を結びつけるリンク関数を導入して正のデータを解析するためのモデルを提案し，その予測量の予測誤差を評価する方法についてまとめた。また予測分布と共変量が異なる場合の条件付き赤池情報量規準の導出と小地域推定への応用，ベイズ的周辺分布に基づいて統一的な赤池情報量規準の導出を行い，これらの研究成果をまとめた論文が国際雑誌に掲載された。さらに，変量効果の分布に歪度正規分布を仮定した場合を考え，歪度の一致推定量の導出などの理論的な研究を行った。こうした研究は，小地域推定の最近の研究動向の一つであり，この課題で得た結果はこの分野の研究に貢献していると考えられる。
多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開については，ｋ標本のp次元多変量正規分布の平均ベクトルの同時推定問題を考えた。k個の平均ベクトルが等しいという同等性の仮説が疑われるときには，同等性に関する予備検定推定量を用いるのが従来の方法である。これに対して，同等性の仮説を組み入れた事前分布を想定することによって，同等性が疑われるときにはその方向へ縮小するベイズ推定量を導出し，その許容性とミニマックス性を証明した。ミニマックス性の証明には複雑な不等式をいくつか示す必要があるが，その証明の新規性により，国際雑誌に掲載されることになった。
高次元多変量モデルにおける縮小推定法の有効性・有用性については，高次元の平均ベクトルの線形縮小推定量の導出と漸近的な性質を与えた。また同様な考え方に基づいて平均の情報を用いた分散の線形縮小推定量を求め，その良さを数値的に確かめた。これらの研究成果については論文としてまとめており現在投稿中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
混合効果モデルを利用した小地域推定理論の新展開については，地域によって誤差分散が異なる枝分かれ誤差回帰モデルを考え，不均一分散に逆ガンマ分布を想定することにより，平均と分散の両方を縮小する経験ベイズ推定量を導出する。この場合，ガンマ分布の形状母数を推定するためにスコア調整法を提案し，その方法が最尤法などの従来の方法と遜色がないことを数値的に示す。また，その副産物として，ガンマ・ポアソン混合分布やベータ・２項混合分布における形状母数の推定について，スコアー調整法による新たな推定法の提案を行う。さらに，歪度正規分布を用いた小地域推定に関する研究を進め，歪度パラメータの最尤推定量の一致性と漸近正規性を証明し，経験ベイズ推定量の導出とその推定誤差の漸近近似を行う。データから歪度の存在が認められるかなど，理論結果とともに数値解析を通して小地域推定の分野へ貢献していく。
高次元多変量モデルにおける縮小推定法の有効性・有用性については，平均の情報を用いた分散の線形縮小推定の問題を共分散行列の推定問題に拡張し，その漸近的な性質を示していく。また，高次元の平均行列の推定問題への拡張についても，縮小関数が共分散行列の逆行列になり高次元では不安定になるためリッジ型の縮小関数に置き換えた線形縮小推定量を考え，その決定論的な良さを示すとともに漸近的な性質を考察する。
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| Causes of Carryover |
当初，研究打ち合わせのための海外出張（アメリカ・フロリダ大学統計学科Malay Ghosh教授及びシンガポール・国立シンガポール大学確率統計学科Sanjay Chaudhuri准教授）を予定していたが，諸事情によりキャンセルすることになり，その結果，次年度使用額が生ずることになってしまった。
次年度については，キャンセルした海外出張を行う予定で，アメリカ・フロリダ大学統計学科Malay Ghosh教授及びシンガポール・国立シンガポール大学確率統計学科Sanjay Chaudhuri准教授との研究打ち合わせを行うことになる。
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Research Products
(4 results)
