2021 Fiscal Year Research-status Report
New development of shrinkage estimation methods in statistical inference
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18K11188
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
久保川 達也 東京大学, 大学院経済学研究科(経済学部), 教授 (20195499)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 縮小推定 / 線形混合モデル / 小地域推定 / 高次元解析 / ミニマックス性 / スタイン問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では，統計的推測において直面している諸問題に対して，数理統計の立場から縮小推定による新たな解決策を検討し，有効性・最適性などの理論的な
性質を調べ，応用的側面からの有用性を示すことを目的とした。具体的には，（Ａ）混合効果モデルを利用した小地域推定理論の新展開，（Ｂ）多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開，（Ｃ）高次元多変量モデルにおける縮小推定法の有効性・有用性，の３つの問題を扱った。当該年度の具体的成果は以下の通りである。
（A)については，従来の一変量のモデルを多変量Fay-Herriotモデルへ拡張して信頼領域を構成することを考えた。この場合，分散成分は共分散行列になり非負定値で一致性をもつ推定量を構成し経験最良線形不偏予測量に基づいた信頼領域で，被覆確率が名目信頼係数に2次漸近近似の意味で一致するものを導出した。また枝分かれ誤差回帰モデルを多変量に拡張し，しかも分布に正規性を仮定しないときに，経験最良線形不偏予測量の導出とその平均2乗誤差行列の2次近似と2次漸近不偏推定量の導出を行った。そして数値実験による評価とともに実データへの適用についても検討した。
（B)については，多変量正規分布の平均ベクトルの推定において，事前分布の共分散行列が非正則である場合のスタイン現象について研究した。この設定は，関数データのスムージングや小地域同士の関連の強さを組み込んだ線形混合モデルに有用である。平均ベクトルの経験ベイズ推定量のミニマックス性に関して十分条件を与えるとともに疑似ミニマックス性の必要条件にもなっていることを示した。さらに，小地域推定問題への応用を行った。
（C)については，高次元解析で利用された線形縮小推定法を，平均が未知のときの分散の推定に関するスタイン問題に適用し，正規分布を仮定しないときの打ち切り推定量の導出を行い，数値的性質を調べた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（Ａ）混合効果モデルを利用した小地域推定理論の新展開については，多変量Fay-Herriotモデル及び多変量枝分かれ誤差回帰モデルへの拡張を行うことができ，経験最良線形不偏予測量の平均2乗誤差行列の2次近似と2次漸近不偏推定量の導出，漸近2次の精度をもつ信頼領域の導出を行うとともに，分布の正規性を仮定しない場合への拡張や頑健性についても研究成果を得ることができた。さらに，分布の正規性を仮定しない一般の線形混合モデルにおいて，分散成分を推定するための一般的な推定方程式をとりあげ，その解の漸近共分散行列と2次漸近バイアスの導出を行った。以上により，当初の目標の一つを達成したことになる。
（Ｂ）多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開については，多変量歪み正規分布の位置母数の同時推定において，縮小推定量のミニマックス性を証明するとともに数値的な挙動に基づいて良さを検証した。また，多変量正規分布の平均ベクトルの推定において，事前分布の共分散行列が非正則である場合のスタイン現象について研究し，経験ベイズ推定量のミニマックス性に関する成果を得るとともに小地域推定問題への応用に関しても成果を得ることができた。分散のスタイン問題については分布の正規性を仮定しない設定へ拡張することができ，この分野への新たな貢献ができた。さらに，離散分布におけるスタイン問題に関して研究の更なる伸展がなされた。
（Ｃ）高次元多変量モデルにおける縮小推定法の有効性・有用性については，高次元多変量正規分布の平均行列の推定問題について，リッジ型の縮小行列関数に基づいた推定手法がミニマックス性を有することを証明するとともにランダム行列理論を用いて最適値に収束することを示すことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
混合効果モデルを利用した小地域推定については，変量効果と誤差項の分布に正規性を仮定しないノンパラメトリックな設定のもとで，一般的な推定方程式に基づいた分散成分の推定を考え，その漸近共分散行列の導出と漸近2次バイアスの導出を行う。その際，剰余項の評価について統一的な条件を明確にする。同じ設定の元で，経験最良線形不偏予測量の平均2乗誤差について，2次漸近近似とともに2次不偏推定量の導出を行い，そうした近似を与える数学的な正則条件を与える。推定方程式の例として制限最尤推定量，Fay-Herriot推定量，Prasad-Rao推定量を取り上げ，Fay-Herriotモデルや枝分かれ誤差回帰モデルにおいて上述の2次近似の具体的な形を与える。これらに最近の研究成果のサーベイを加えて，この分野の専門学術書の作成を行う。
混合効果モデルに関連して，離散分布の混合モデルとして知られているガンマ・ポアソンモデルやベータ・２項モデルの母数推定を扱い，形状母数などの推定問題について新展開を考える。最尤推定量はEMアルゴリズムを用いて計算されるが，アルゴリズムの各ステップにおいて方程式を数値的に解くループが入るため計算時間がかかってしまう。そこで，スコア調整法を適用することによって，そのループを回避して計算時間を短縮する手法の提案を行い，数値実験を通して良さを確認する。
スタイン問題や縮小推定に関しては，歪度を組み込んだ多変量楕円分布を考え，位置母数ベクトルのスタイン現象について調べる。このような分布は，正規分布の平均と分散の両方に混合分布を組み込むことによって得られる一般的な分布であり，こうした設定のもとで縮小推定量のミニマックス性を考察する。また，分散が未知のときの分散のスタイン問題を指数分布の場合に拡張し，しかも母数制約を入れた問題についても推定量の優越性に関する研究を進める。
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| Causes of Carryover |
当初，研究打ち合わせのための海外出張（シンガポール・国立シンガポール大学確率統計学科Sanjay Chaudhuri准教授, フロリダ大学統計学科Malay Ghosh教授，ラトガース大学統計学科William Strawderman教授）を予定していたが，新型コロナウィルス感染拡大のためキャンセルすることになり，その結果，次年度使用額が生ずることになってしまった。
次年度については，キャンセルした海外出張を行う予定で，シンガポール・国立シンガポール大学確率統計学科Sanjay Chaudhuri准教授, フロリダ大学統計学科Malay Ghosh教授，ラトガース大学統計学科William Strawderman教授との研究打ち合わせを行うことになる。
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