2022 Fiscal Year Research-status Report
New development of shrinkage estimation methods in statistical inference
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18K11188
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
久保川 達也 東京大学, 大学院経済学研究科(経済学部), 教授 (20195499)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 縮小推定 / 線形混合モデル / 小地域推定 / スタイン問題 / ミニマックス性 / 高次元解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
混合効果モデルを利用した小地域推定については，変量効果と誤差項の分布に正規性を仮定しないノンパラメトリックな設定のもとで，一般的な推定方程式に基づいた分散成分の推定を考え，その漸近共分散行列の導出と漸近2次バイアスの導出を行った。特に，枝分かれ誤差回帰モデルにおいて，群間分散の推定問題について共分散情報を利用した新たな推定量をモーメント方程式に基づいて求めた。これは分散情報に基づいて導出される従来の推定量とは異なっており，推定量の漸近分散を導出して推定誤差の性質を調べ比較検討した。また共分散情報と分散情報による２つの統計量の線形結合において漸近分散を最小にするような最適な係数を求めて，最適係数をもつ新たな推定量も提案した。このようにして求めた群間分散の不偏推定量の欠点として，正の確率で負の値をとることが知られている。この問題に対して，正の値をとる推定量に修正する方法を新たに提案した。この手法は，正の値をとるだけでなく，群間成分の一致推定量であり，しかも漸近分散が修正する前の推定量の漸近分散と２次のオーダーまで一致するという画期的な方法である。推定量が母数空間からはみ出してしまう状況は他の推定問題にも現れるので，そうした問題への拡張を今後行う。提案された推定量と従来の推定量とを平均２乗誤差とバイアスを通して数値的に比較した。
混合効果モデルに関連して，離散分布の混合モデルとして知られているガンマ・ポアソンモデルやベータ・２項モデルの母数推定を扱い，形状母数などの推定問題について考察した。最尤推定量はEMアルゴリズムを用いて計算されるが，アルゴリズムの各ステップにおいて方程式を数値的に解くループが入るため計算時間がかかってしまう。そこで，スコア調整法を適用することによって，そのループを回避して計算時間を短縮する手法を提案し数値実験を通して良さを確認した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
（Ａ）混合効果モデルを利用した小地域推定理論の新展開については，多変量Fay-Herriotモデル及び多変量枝分かれ誤差回帰モデルへの拡張を行うことができ，経験最良線形不偏予測量の平均2乗誤差行列の2次近似と2次漸近不偏推定量の導出，漸近2次の精度をもつ信頼領域の導出を行うとともに，分布の正規性を仮定しない場合への拡張や頑健性についても研究成果を得ることができた。さらに，分布の正規性を仮定しない一般の線形混合モデルにおいて，分散成分を推定するための様々な推定方程式をとりあげ，その解の漸近共分散行列と2次漸近バイアスの導出を行った。以上により，当初の目標の一つを達成したことになる。
（Ｂ）多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開については，多変量歪み正規分布の位置母数の同時推定において，縮小推定量のミニマックス性を証明するとともに数値的な挙動に基づいて良さを検証した。また，多変量正規分布の平均ベクトルの推定において，事前分布の共分散行列が非正則である場合のスタイン現象について研究し，経験ベイズ推定量のミニマックス性に関する成果を得るとともに小地域推定問題への応用に関しても成果を得ることができた。分散のスタイン問題については分布の正規性を仮定しない設定へ拡張することができ，この分野への新たな貢献ができた。さらに，離散分布におけるスタイン問題に関して研究の更なる伸展がなされた。
（Ｃ）高次元多変量モデルにおける縮小推定法の有効性・有用性については，高次元多変量正規分布の平均行列の推定問題について，リッジ型の縮小行列関数に
基づいた推定手法がミニマックス性を有することを証明するとともにランダム行列理論を用いて最適値に収束することを示すことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
統計的推測における縮小推定法についてさらに研究を進める。特に，（Ｂ）多次元母数の同時推定に関するスタイン問題の新たな展開について，スタインの等式として知られるスタイン法の３つの応用例について調べる。まず，正規分布であることとスタインの等式が数学的に同値であることが知られているが，このことはスタインの等式が正規分布を特徴づけることを意味する。スタインの等式は積率母関数もしくは特性関数についての微分方程式として表現できるので，この性質を用いて正規分布を特徴づける従来の条件をスタインの等式もしくは微分方程式で示すことを試みる。スタイン法について知られている応用例として，縮小推定のリスク関数の不偏推定量を求めることと，中心極限定理などの正規近似を示す方法として用いることの２つがあげられる。これらをサーベイするとともに，３つ目の応用例としてスタインの等式に基づいた正規性の適合度検定を求める方法を考える。すなわち，スタインの等式は正規分布を特徴づけているので，スタインの等式の期待値を標本で置き換えた統計量を考えれば，中心極限定理より正規近似できるので，有意水準5%の検定統計量を作ることができる。こうして求めた適合度検定法を，歪度や尖度に基づいた従来の検定法と数値的に比較して性質を調べる。
正規分布に限らず，ガンマ分布，指数分布，ポアソン分布，負の２項分布においてもスタイン型の等式が得られ，それが分布を特徴づけることが示される。この性質を用いて，スタイン型の等式における期待値を標本で置き換えた検定統計量を提案し，指数分布の検定やポアソン分布の検定に利用できるかについて数値的に調べ検討する。
また，歪度を組み込んだ多変量楕円分布を考え，位置母数ベクトルのスタイン現象について調べる。これは正規分布の平均と分散の両方に混合分布を組み込んだ分布であり，この分布でのミニマックス性を考察する。
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| Causes of Carryover |
当初，研究打ち合わせのための海外出張（シンガポール・国立シンガポール大学確率統計学科Sanjay Chaudhuri准教授, フロリダ大学統計学科Malay Ghosh教授，ラトガース大学統計学科William Strawderman教授）を予定していたが，新型コロナウィルス感染拡大のためキャンセルすることになり，その結果，次年度使用額が生ずることになってしまった。
次年度については，キャンセルした海外出張を行う予定で，海外の研究者との研究打ち合わせを行うことになる。
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