2019 Fiscal Year Research-status Report
Theory of high-dimensional martingales and its statistical applications
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18K11203
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
西山 陽一 早稲田大学, 国際学術院, 教授 (90270412)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | マルチンゲール / 高次元統計学 / 最大不等式 / Dantzig selector |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は二つある。一つ目は、理想的な目標であるが、高次元の統計学において基本的な役割を果たす「最大不等式」の、まったく新しいヴァージョンを導出することである。「最大不等式」を得るための方針として、まず最初に Kolmogorov によって前世紀初頭に創始された伝統的な手法によるアプローチが考えられ、これに基づく方法でも、特にマルチンゲールに限っていえば既存の結果をわずかに凌駕する結果を、最近得ることができた。ただ、理想とするのは、Kolmogorov の手法に現れるナイーブな三角不等式の使用を避けた、まったく新しい最大不等式を得ることであり、これについては、未だ解決へ向けての決定的な新しいアイデアは得られていない。
二つ目の目標は、「最大不等式」を用いた高次元統計学の新しい理論展開を研究することである。テーマとしては、Lasso や Dantzig selector の研究が考えられ、昨年度までに、早稲田大学の藤森洸氏（現・信州大学）と共同でいくつかの研究成果を得てきている。ただ、大本となる「最大不等式」の本質的な改良を期待しているため、この方面での研究は、私としては第二目標として捉えており、本年度には生産的な研究を行うことができなかった、というのが実情である。
これら二つの目標が達成された場合には、それを現在執筆中の著書（Chapman & Hall 社より刊行予定）に含める所存であり、その準備も並行して行っている。
大本となる、本質的に新しい「最大不等式」の導出を期待しているところであるが、現実的な目標として、Kolmogorov の方法の、マルチンゲールにおけるシャープな適用方法の研究に重心を移動させることも含めて、今後の研究方針を検討しているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上述の、理想的な目標への道のりは、未だ不透明であり、この意味において進捗状況は順調とは言えない。ただし、伝統的な手法にもとづく高次元統計学の研究は着実に成果を挙げてきており、進捗状況は、著しくは遅れていないといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
伝統的な方法にもとづく「最大不等式」の改良がどこまで可能か、ということも含めて、着実な成果が得られる研究推進方策を併用することも検討している。特に、現在執筆中の著書は、本研究課題の終了までには必ず脱稿したいと考えている。
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| Causes of Carryover |
残額のゼロにするための予算使用は敢えてしなかったため、少額の次年度使用額が生じた。これは、次年度予算と併せることによって、物品費の一部として、真に有効に使用してきたいと考えている。
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