2023 Fiscal Year Annual Research Report
Theory of high-dimensional martingales and its statistical applications
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18K11203
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
西山 陽一 早稲田大学, 国際学術院, 教授 (90270412)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | マルチンゲール / 最大不等式 / 高次元統計モデル / LASSO / Dantzig selector |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究期間全体を通じて実施した研究の成果は，大別して３件あげられる．
①まず，長年の課題であった stochastic maximal inequality の証明を完遂し，それを用いて幾つかの有用な不等式を導いた．stochastic maximal inequality とは有限個の局所マルチンゲールの絶対値の最大値過程を，原点を出発する1次元可予測増加過程と原点を出発する1次元局所マルチンゲールの和で抑える不等式である．これらの両辺が確率過程である点がユニークなところであり，"stochastic"という形容詞を冠する所以である．応用として，もともと1次元の確率過程に対して与えられていたDoobの不等式およびLenglart不等式を，任意の有限次元にまで拡張することに成功した．
②次に，上記の研究成果を解説することを最終地点とした著書『Martingale Methods in Statistics』を2022年に出版した．この著書の前半では，難解なマルチンゲール理論を，従来のどの文献よりも reader friendly に解説したという自負がある．後半では，マルチンゲール理論による統計解析を，洋書としては初めて詳細に解説した．
③最終年度には，stochastic maximal inequality の最初の統計的応用として，高次の自己回帰過程モデルにおける Dantzig selector と LASSO の l_2一致性を証明した．この成果は，次年度（以降）において，新しい著書の中で発表する予定である．
なお，最終年度の8月には，国際学会『EcoSta 2023』において，上記①および②で述べた成果を，招待講演として発表した．
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