2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K13381
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| Research Institution | Hirosaki University |
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Principal Investigator |
上山 健太 弘前大学, 教育学部, 准教授 (30746409)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非可換代数幾何学 / 歪射影空間 / グラフ / switching同値類 / twisted Segre product / 非可換次数付き孤立特異点 / 非可換曲面 / Cohen-Macaulay加群の安定圏 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は次の2つの研究成果を得た．
(1) 大阪大学の東谷章弘氏との共同研究で，(±1)歪射影空間の組合せ論的な分類を与えた．特に，主結果の一つとして，二つの(±1)歪射影空間が同型になることとそれぞれに付随するグラフがswitching同値になることが同値な条件であることを示した．頂点数を固定したグラフのswitching同値類の個数を求める公式が既に知られていることから，次元を固定した(±1)歪射影空間の同型類の個数が明らかとなった．主結果では，(±1)歪射影空間の分類と単体的複体や点スキームの分類との関係も述べられている．また，(±1)歪射影空間の不変量の組合せ論的考察も行われた．この研究成果は論文としてまとめられ，論文は査読付き雑誌に現在投稿中である．
(2) 杭州師範大学（中国）のJi-Wei He氏との共同研究で，twisted Segre productという概念を導入し，考察した．まず，二つのネーターKoszul AS正則代数のtwisted Segre productがネーターであれば，それが非可換次数付き孤立特異点になることを示した．この証明のために稠密(双)次数付き代数というクラスが導入された．次に，二つの2変数多項式環のdiagonal twisting mapによるtwisted Segre productが非可換2次曲面になっていることを証明した．非可換2次曲面はネーターであるため，先の結果より孤立特異点であることが分かる．また，このときの次数付き極大Cohen-Macaulay加群の安定圏の構造も明らかにした．この研究成果は論文としてまとめられ，論文は査読付き雑誌に現在投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度までの非可換超曲面の研究で得られた組合せ論的な手法を応用することにより，(±1)歪射影空間の分類は与えられた．空間そのものの分類が得られたことは超曲面を研究する上でも有意義である．また今回得られた結果を見る限り，twisted Segre productは非可換2次曲面を理解するための有効な手段だと考えられる．これより，おおむね順調に研究が進展していると判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
新型コロナウイルス感染症の拡大を理由に，研究集会や研究打ち合わせが中止になったり，オンラインになったりする状況が続いている．研究者の間のコミュニケーションが少なくなり，考えが閉塞的になりがちである．延長期間の間にできる限り関連の強い研究者とのやりとりの機会を増やすことで，これまでの研究成果を発展させたり，新たな情報を収集したりして，非可換超曲面の研究を推進させる．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響により，予定していた研究集会参加や研究打ち合わせが中止や延期，オンライン開催となったため，次年度に繰り越した．事態が落ち着いた頃に代替的に行われるであろう研究集会や研究打ち合わせの旅費として使用する予定である．
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