2021 Fiscal Year Annual Research Report
New constructions of modular forms via periods of K3 surfaces
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18K13383
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| Research Institution | Kanazawa University |
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Principal Investigator |
永野 中行 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (30707873)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 周期写像 / K3曲面 / 保型形式 / 楕円曲面 / テータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までの研究に引き続いて,K3曲面の周期写像を用いて保型形式の構成を行った.まず,一般の楕円K3曲面の変形から得られる保型形式がなす環の構造を決定し,非自明な指標を持つ保型形式をボーチャーズ積で具体的に書き出すことに成功した.この結果は植田一石氏(東大)との共著論文としてまとめられ,年度内に論文は受理・出版された.次に,あるK3曲面の周期が定める保型形式を階数5の例外型複素鏡映群の不変式とテータ関数で明示的に表示した.この結果をまとめた志賀弘典氏(千葉大)との共著論文は本年度受理され,オンライン出版された.この場合のK3曲面の二重被覆がクンマー曲面の自然な拡張を与えることを見抜き,その曲面の詳細な格子構造を調べた論文が志賀弘典氏との共著として受理された.
さらに,これらの論文の結果に基づき,K3曲面と複素鏡映群との間には新しい非自明な関係があるという予想に至った.この予想の根拠を得るため,最も大きい階数を持つ例外型複素鏡映群の不変式と関係すると期待されるK3曲面を構成し,その周期を詳細に調べ,周期写像の逆対応が定める保型形式の環を決定した.この結果は単著の論文にまとめられ,現在投稿中である(arXiv:2108.08168).それだけでなく,3次元トーリックFano多様体と双対の関係にあるトーリック多様体の超曲面として出現するK3曲面族の格子構造を決定した.この構造の決定においては,金沢大学大学院修士2年生の松村朋直氏により構成されたK3曲面上の明示的な楕円ファイバーがきわめて重要な役割を果たす.この結果は松村氏との共著論文として現在執筆中である.
以上述べた諸結果に基づいて,国際研究集会``Conference on Special Geometry, Mirror Symmetry and Integrable Systems’’に招待され研究発表を行った.
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