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2019 Fiscal Year Research-status Report

極小モデル理論に現れる特異点の理論

Research Project

Project/Area Number 18K13384
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

中村 勇哉  東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)

Project Period (FY) 2018-04-01 – 2022-03-31
KeywordsACC予想 / LSC予想 / 極小モデル理論 / 双有理幾何 / 極小モデル理論
Outline of Annual Research Achievements

本年度の研究は2つある。1つ目は超局面の有限商における双有理不変量の研究であり、2つ目は一般対における双有理不変量の研究である。以下それぞれの詳細を述べる。

(1) 超局面の有限商に対し双有理不変量を調べた。特に極小ログ食い違い係数を研究し、ジェットスキームを使い理解することを試みた。この研究は商特異点の場合と、超局面の場合にそれぞれ先行研究がある。この二つの先行研究を両立するような理論の構築を目指し、その基礎理論を構築した。先行研究の一つは、申請者自身によるもので、ジェットスタックの理論を応用したものであった。まずはこの先行研究をジェットスタックの理論を使わず、通常のジェットスキームの理論で先行研究を理解した。これにより、超局面の場合の先行研究が適用できるようになった。またこの理論を応用して、極小ログ食い違い係数に関する、下半連続性予想について研究し、一部の場合に解決することができた。

(2) 一般対の概念を特異点理論の立場から研究した。一般対の概念は、ビルカー氏により定義され、ビルカー氏がこの概念を用いてBAB予想を解決するなど、双有理幾何学において注目される概念である。本研究では、通常のログ対に対して定義されていた極小ログ食い違い係数を、一般対の場合についても研究した。2次元、3次元の場合に通常の対に対して知られていた結果を一般対について拡張したほか、フリップの停止問題との関連を調べた。特にACC予想について部分的な結果を得た。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

超局面の有限商に対する極小ログ食い違い係数をジェットスキームの次元を用いて理解することに成功した。またその応用として、LSC予想について部分的な解決を得ることができた。これにより申請時の目標を一つ達成したことになる。また、一般対の概念を特異点理論から調べ、既存の予想を整理することができた。

Strategy for Future Research Activity

今年度の研究により、超局面の有限商に対する極小ログ食い違い係数をジェットスキームの次元を用いて理解することに成功した。これをさらに進めることでLSC予想やPIA予想をこの場合に解決することを目指している。すでに一部の場合は証明できているが、まずはこの場合に完璧に解決したい。また、一般対に対するACC予想の部分的な結果を利用して、極小モデルプログラムの停止問題について部分的な結果を得ることを目指している。

Causes of Carryover

コロナウイルスによる社会情勢により、参加予定であった研究集会の参加を取りやめたため。このため今年度予定していた情報収集の一部ができなくなったため、次年度以降に情報収集をすることにした。

  • Research Products

    (8 results)

All 2020 2019

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 4 results,  Invited: 5 results)

  • [Journal Article] Dual complex of log Fano pairs and its application to Witt vector cohomology2020

    • Author(s)
      Yusuke Nakamura
    • Journal Title

      Int. Math. Res. Not. IMRN

      Volume: - Pages: -

    • DOI

      https://doi.org/10.1093/imrn/rnz356

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] A Witt Nadel vanishing theorem for threefolds2020

    • Author(s)
      Yusuke Nakamura, Hiromu Tanaka
    • Journal Title

      Compos. Math.

      Volume: 156 Pages: 435-475

    • DOI

      https://doi.org/10.1112/S0010437X1900770X

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Rational points on log Fano threefolds over a finite field2019

    • Author(s)
      Yoshinori Gongyo, Yusuke Nakamura, Hiromu Tanaka
    • Journal Title

      J. Eur. Math. Soc. (JEMS)

      Volume: 21 Pages: 3759-3795

    • DOI

      10.4171/JEMS/913

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Rational point problem on singular Fano varieties2020

    • Author(s)
      Yusuke Nakamura
    • Organizer
      Singularities and Arithmetics
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Rational point problem on singular Fano varieties2019

    • Author(s)
      Yusuke Nakamura
    • Organizer
      Tokyo Denki University Mathematics Seminar
    • Invited
  • [Presentation] Rational point problem on singular Fano varieties2019

    • Author(s)
      Yusuke Nakamura
    • Organizer
      Number Theory/Algebraic Geometry Seminar at Boston College
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Rational point problem on singular Fano varieties2019

    • Author(s)
      Yusuke Nakamura
    • Organizer
      Algebraic Geometry Seminar at Princeton University
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Rational point problem on singular Fano varieties2019

    • Author(s)
      Yusuke Nakamura
    • Organizer
      Algebraic Geometry Seminar at Michigan University
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2021-01-27  

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