2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K13384
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
中村 勇哉 東京大学, 大学院数理科学研究科, 助教 (20780034)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 極小モデル理論 / ACC予想 / LSC予想 / 特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 昨年度に引き続き、超商特異点の極小ログ食い違い係数について研究した。超商特異点とは超曲面特異点の有限商となっているような特異点のクラスである。極小ログ食い違い係数に関する予想としてLSC(lower semi-continuity)予想とPIA(precise inversion of adjunction)予想がある。昨年度、群作用が線形である場合に、PIA予想とLSC予想の成立を証明していた。本年度は、群作用が非線形な場合にも同内容の主張を証明することができた。非線形な群作用は、局所環の完備化という操作により線形化することができる。そのため、弧空間の理論を形式的冪級数環に拡張することが必要となった。本年度は、形式的冪級数環上での弧空間の理論を整備し、昨年度証明した結果が同様に証明されることを確かめることができた。またその過程で、形式的冪級数-多項式混合環における微分加群や、導分の理論を整備し、弧空間との関連を整備している。
(2) 極小モデル理論に登場する対の拡張として一般対の概念がある。一般対に対する極小ログ食い違い係数について研究した。ACC予想、LSC予想について通常の対について知られていることが、一般対に対しても成立することを確かめた。証明では、一般対を通常対の無限列で近似することがカギとなっている。これにより、一般対に対する様々な主張を通常対に帰着することができる。また、コンプリメントといった大域理論への応用も与えている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度は、超商特異点に対するPIA予想やLSC予想を、群作用が線形な場合に証明していた。本年度はこれを非線形な群作用にまで拡張することができた。これにより、超商特異点に対するPIA予想やLSC予想をほぼ完全な形で証明できたといってよい。
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| Strategy for Future Research Activity |
上空の因子の情報を弧空間の情報から得ることを当初の課題としていた。超商特異点についてこの課題にとりくむ。また、今回整備した超商特異点の弧空間の理論を用いて、関連する様々な問題にアプローチすることも目標としている。
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| Causes of Carryover |
研究期間のうち2年以上に渡る世界的なCOVID-19の影響のため、予定していた国際研究集会や情報収集が延期となった。
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