2020 Fiscal Year Research-status Report
双曲的代数曲線のモジュライに関連する数論幾何学と量子場の理論との融合的研究
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18K13385
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
若林 泰央 東京工業大学, 理学院, 助教 (80765397)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Belyiの定理 / 正標数 / Frobenius射影構造 / 変形量子化 / 代数曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度においては，まずはじめにBelyiの定理の正標数類似に関する研究を実施した．この研究において，正標数体上で定義された代数曲線における（様々な定式化における）Belyi写像の次数の明示的評価を得た．この研究成果を論文（タイトル「An effective version of Belyi's theorem in positive characteristic」）にまとめ，当該年度中に公開した．
次に，Frobenius射影構造に関する研究を実施した．この研究では，代数曲線上のFrobenius射影構造に付随する（然るべき意味で良い性質を持つ）変形量子化の構成に関する研究成果を得た．これは，D. Ben-ZviおよびI. Biswasによるリーマン面上の変形量子化に関する先行研究の正標数類似と呼ぶべきものである．この成果を論文（タイトル「Quantization on algebraic curves with Frobenius-projective structures」）にまとめ，当該年度中に公開した．
さらに続けて，代数曲線上のFrobenius射影構造の概念を高次元化し，「一般次元の代数多様体上のFrobenius射影構造（およびFrobeniusアフィン構造）」に関する基礎理論を展開した．この研究に関する成果を論文（タイトル「Frobenius projective and affine geometry of varieties in positive characteristic」）としてまとめ，公開した．
最後に，現在投稿中の論文（タイトル「A theory of dormant opers on pointed stable curves」）を（査読レポートのコメントを参考にしつつ）より完成度を高めるために大々的な加筆修正をおこなった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当該年度はおおむね順調に研究を遂行することができ，結果として得られた成果を論文として執筆して当該年度中に公開することができた．とくに，「一般次元の代数多様体におけるFrobenius射影構造（およびFrobeniusアフィン構造）」の基礎理論を展開した論文を当該年度中にまとめられたことに関しては，想定以上に研究が進んだと言えるだろう．また，この研究を進めていく過程で様々な観点や深い理解を得ることができ，その結果として（当該研究課題を開始する時点で想定していた程度よりも）さらなる理論展開の可能性が広がった．
ただし，コロナ禍の影響により国内外の移動が制限されていたため，他研究機関に属する研究者との交流や意見交換を活発にすることは難しい状況だった．実際，当初想定していた海外渡航を中止せざるをえず，（それほど深刻な影響としては現れてないが）共同研究を予定していた内容に関しては円滑に進まなかった．また，研究成果を対外的に発表し活発に議論する機会も限定的となり，これらの点においては想定外だった．このような事態に対処すべく，取り組む予定だった研究内容の順序を適宜変更するなどした．全体としては，（予定より進んだ研究内容もあり）問題なく進捗していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，当該年度で基礎付けをおこなった「一般次元の代数多様体上のFrobenius射影構造（およびFrobeniusアフィン構造）の理論」をいくつかの観点でさらに発展させることを考えている．一つの観点としては，より一般の簡約代数群の商として得られる等質空間をモデルとするFrobenius構造の幾何学，つまり「正標数のKlein幾何学やCartan幾何学」を展開させることを予定している．この方向の研究に関しては，I. BiswasやS. Dumitrescuらによって展開された複素多様体における先行研究を適宜参考にしながら進めていくことになると想定している．最終的には，理論の基礎付けの他に変形理論の記述やFrobenous射影構造（およびFrobeniusアフィン構造）とは異なる等質空間の場合の具体例などに関する理解を深めることを目標としている．またもう一つの観点として，「正標数の通常Abel多様体上で定義されたFrobeniusアフィン構造のp進標準持ち上げ」に関する研究を推し進めていきたい．この研究を通して，正標数の代数多様体上で存在する（無限レベルの）Frobenius構造とそのp進持ち上げの上で定義される然るべき付加構造（例えば数論的D加群など）とがどのように関連づけられるかを詳細に調べていく予定である．この研究に関しては，当該年度に実施した研究の中で得られた知見に基づき，現時点でも多くの部分において議論の詳細を詰めることができている．当該研究期間中に時間をかけて議論の完成度を高め，研究成果をまとめていく予定である．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響により国内外の移動が制限されていたため，他研究機関に属する研究者との交流や意見交換を活発にすることが難しい状況だった．実際，当初想定していた海外渡航を中止せざるをえず，研究成果を対外的に発表し（共同研究を含め）活発に議論する機会も限定的となった．このような想定外の事態により，旅費として想定していた費用の一部は使用できない状況だった．次年度においては，当該助成金を専門書籍やPC周辺機器の購入のために使用することを予定している．これは，コロナ禍の影響による上記の事態に伴って生じた研究遂行計画の部分的な変更に適応するために必要となる．より具体的には，研究に取り組む順序や重点的に深める内容を若干調整したことにより，専門書籍を購入して新たに知見を深める必要が生じた．また，海外の研究者との意見交換や共同研究を円滑におこなうことを目的とした設備を整えるために，PC周辺機器を拡充する予定である．
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