2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K13388
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
藤田 健人 大阪大学, 理学研究科, 准教授 (40779146)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | K安定性 / 極小モデル理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般の偏極代数多様体のK安定性を、双有理幾何学的な観点でより良い条件に置き換えることを目的とする。特にファノ多様体かつ反標準因子を偏極とする場合は、ケーラー・アインシュタイン計量の存在問題という幾何学的問題と同値であるということがChen-Donaldson-Sun及びTianにより知られており、代数学・幾何学両面からの研究が盛んにおこなわれているが、報告者は主として代数的、特に極小モデル理論で発展を遂げた因子の体積（もしくは制限体積）の理論・モデルの地理理論等を念頭に置いている。今年度の研究実績は、当初の戦略であった「一般の偏極代数多様体のK安定性は、体積の代わりに制限体積を用いることで（ファノ多様体のときに成功した）付値判定法の拡張が得られるのではないか」というナイーブな問いが、想像以上に楽観的であったことを確認した。つまり、ファノ多様体特有のDing汎関数由来の不変量に相当する量を一般の偏極代数多様体で考えようとするのは様々な理由からどうやら筋が悪そうだ、という結論に至った。これにより、まずはファノ多様体にて付値判定法のさらなる改良が必要であろうという考えに達し、具体例での計算可能な方法を２次元で開発した。具体的な結果としては、Cheltsov-Rubinsteinによる漸近的ファノ多様体についての良計量存在予想の反例を、Liu, Suess, Zhang, Zhuang と共同で見つけ、更にCheltsov-Rubinsteinの予想を2次元の場合に全て調べ上げた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般の偏極代数多様体のK安定性が、当初考えていたより遥かに難しいことを確認できたことは進展の一つであると言ってよいと思う。またこれにより、特に重要なファノ多様体の場合に付値判定理論をより洗練させねばならない、という目標に舵を切ることができた。実際２次元つまり（対数的）デルペッツォ曲面の場合での反標準因子についてのK安定性は、特異点を含む場合やログ対を考える場合を含め、すべて計算可能であるということを確認できた。これら一連の結果を、合計三本の論文にできたことは進展の一つであるといって良いだろう。一方、高次元の場合はこのままでは２次元の場合のようにうまくいくわけではないようなので、より有効な判定法を考える必要がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
２次元の場合にて成功を収めたファノ多様体のK安定性の良い言い換えについて、３次元の場合にどうなっているのかを考えることは重要であると考える。非特異３次元ファノ多様体は分類が完了しているが、それらがいつK安定か、つまりケーラー・アインシュタイン計量をもつか、という問題は、微分幾何の専門家にとっても興味ある問題であるが、多くがまだ分かっていない。これらを全て計算可能にするような一般論の構築を今後の目標としたい。例えば、最近Ahmadinezad-Zhuangによって提唱されたK安定性の多重線型系での解釈は、凡そK安定性を次元の低い対象に帰着させる理論で、３次元ファノ多様体の場合にどう理論を適用させれば良いのか考えてみようと思っている。
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| Causes of Carryover |
2月及び3月に予定していた複数の海外出張計画が、新型コロナウイルスの影響で中止となった。そのため30万円近い次年度使用額ができたが、2020年度は研究をリモート化する必要が新たに生じることとなったため、その設備投資として使用していく。
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