2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K13389
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
尾高 悠志 京都大学, 理学研究科, 准教授 (30700356)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | K3曲面 / モジュライ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2018年度は主に、大島芳樹氏との共同研究において偏極射影代数的K3曲面およびケーラーK3曲面のモジュライ空間のトロピカル幾何学的コンパクト化の理論の発展が一通りの完成を見せるという意味で大きな意義があった。当初このコンパクト化の理論はK3曲面の上の自然な微分幾何学的構造であるRicci-flat計量の極限・漸近構造を記述するはずであるという予想・意図を持っていたのだが、これの意図の通りに、K3曲面の球面への崩壊が一般の場合に証明され、Kontsevich-Soibelmanの予想がそれに従うこととなった。
とりわけ昨年度進んだのは、Gross-WilsonやGross-Tosatti-Zhangの行なっていた、固定されたK3曲面の断熱極限としての球面の現れ方に必要な複雑な幾何解析・ケーラーポテンシャルの評価を一般の場合まで拡張する困難を乗り越えたところにある。その問題の難しさは、Gross-WilsonやGross-Tosatti-Zhangに比べて我々の設定においては全空間であるK3曲面が摂動するということであり、その状況においては一般には非崩壊極限であるとはいえ、ADE特異点を持ってくるということである。それに従って曲率が発散し、彼らの以前の評価はそのままは適応されない。
同時にK3曲面の高次元化である超ケーラー多様体のモジュライ空間のコンパクト化についても、同様の理論は成立し、その証明のための手法は適応されると考えており、実際にそれのための部分的成果をあげた。すなわち非崩壊極限による部分コンパクト化の構成、ならびに幾何学的実現写像の構成をK3型の場合に行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
大島芳樹氏とのK3曲面のトロピカル幾何学的コンパクト化の共同研究が完成をして、プレプリントをarXivに公開することができたというのは非常に大きい一区切りであった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はこれらのトロピカル幾何学的コンパクト化ないし、以前まで行っていた（間接的には関係のある）K安定性およびそれに基づくKモジュライの理論を、非アルキメデス幾何学的、ないしトロピカル幾何学的視点から発展させていきたいと思う。
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