2018 Fiscal Year Research-status Report
標数0および正標数における重さ1のモジュラー形式の明示的計算とその応用
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18K13394
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| Research Institution | Dokkyo Medical University |
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Principal Investigator |
小笠原 健 獨協医科大学, 医学部, 助教 (90709776)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 重さ1のモジュラー形式 / 法pモジュラー形式 / ガロア表現 / 代数体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
重さ1の法pモジュラー形式の具体的な計算を行い，同じレベルの標数0，重さ1のモジュラー形式に持ち上がらないようなものを多く発見した．そのようなものからヘッケ固有形式を構成することができ，そのうちの１つについては対応するガロア拡大（ガロア群はPGL(2,7)）を与える多項式の発見にも成功した．標数0に持ち上がらない重さ1のモジュラー形式に関してはSchaefferによる先行研究があるが，本研究で用いている手法は，計算アルゴリズムの中にルーティンを含まないシンプルなものとなっている．また，ある代数体のイデアル類群の構造との関連を示唆する計算結果を得た．これは，重さ1の法pモジュラー形式の空間に冪零に作用するヘッケ作用素が存在することと，対応する代数体の類数の可除性に関係があるのではないかという観察である．これは今後追究すべき研究課題である．
重さ1の法7モジュラー形式に関連して，MalleのPGL(2,7)-多項式（8次式）についても調べた．これに適切な変数変換を施すと，様々な性質をもつPGL(2,7)-拡大を構成できることがわかった．このMalleの多項式から得られるPGL(2,7)-拡大で素数べきの判別式をもつもののいくつかについて，対応する重さ1の法7モジュラー形式を見つけることができた．得られた法7ヘッケ固有形式のq展開係数を調べると，対応するガロア表現から計算されるフロベニウス自己同型の位数と，PGL(2,7)-拡大を与える多項式の法pでの分解の様子（より正確には有限体の拡大における剰余次数）はぴったりと一致していた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本助成金により購入した計算機によって，より多くの重さ1の法pモジュラー形式を発見・計算することができた．また，標数0に持ち上がらない重さ1の法pモジュラー形式へのヘッケ作用と，ある代数体のイデアル類群の構造との関連を示唆する例についても，今後追究するに値する課題であると考えている．さらに，法7モジュラー形式に関連して，Malleの多項式から非常に多くのPGL(2,7)-拡大が得られることを示した．以上のような成果を挙げており，おおむね順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
重さ1の法pモジュラー形式を計算する中で，あるモジュラー形式の法pモジュラー形式としての零点の様子を調べる必要が生じている．今後はこれを明らかにしなければならないと考えている．そのために，Katzの意味でのモジュラー形式に関する文献を調べるとともに，Calegariらによる重さ1の法pモジュラー形式に付随するガロア表現に関する研究との関連を調べる予定である．
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| Causes of Carryover |
理由：パソコンを予定より安価で購入できたこと，および，研究の進捗状況を鑑みて，数式処理ソフトの購入を翌年度に持ち越すことにしたため．
使用計画：数式処理ソフトの購入，研究集会等への出張旅費，論文データベースのライセンス更新，書籍・資料の購入，などへの使用を予定している．
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