標数0および正標数における重さ1のモジュラー形式の明示的計算とその応用

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K13394
• Research Institution: Dokkyo Medical University
• Principal Investigator: 小笠原 健 獨協医科大学, 医学部, 講師 (90709776)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 法pモジュラー形式 / 重さ1のモジュラー形式 / ガロア群 / 代数体 / ガロア表現

Outline of Annual Research Achievements

前年度までに計算したレベルp、重さ1のnon-liftable mod 7 formとそれらに付随するPGL(2,7)-多項式とPSL(2,7)-多項式に関する論文の執筆に取り組んだ。研究成果をまとめる中で、素数pでのみ分岐するPGL(2,7)-拡大において、pの分岐に関する性質を詳しく記述した方がよいことに気づいたため、その調査・研究にあたることにした。その結果、pが順分岐である場合に、その分岐の法則（分岐指数や分解群とpの合同条件の関係、および、PGL(2,7)-多項式のmod pでの分解の仕方）をまとめることができた。また、pでのみ分岐（ただし、順分岐）するPGL(2,7)-拡大に対して、それがレベルp、重さ1のnon-liftable mod 7 formと対応する条件について明らかにすることができた。これについては、一般に、有理数体の絶対ガロア群のpでのみ分岐（ただし、順分岐）するような2次元mod l 射影表現に対して、pでの分解群の象を決定する命題を示すことが重要な点であった。この結果は、pでのみ分岐するPSL(2,7)-拡大に対しても適用できる。以上の結果を裏付けるものとして、判別式が-p^5であるようなPGL(2,7)-多項式の１例に対して、レベルp、重さ1、位数6のnebentypusをもつnon-liftable mod 7 formが付随して存在することが共同研究者のG. Schaeffer氏による計算によって示された。
また、前年度に計算したnon-liftable mod 3 formに付随すると考えられるPGL(2,9)-多項式の探索もおこなったが、多項式の発見には未だ至っていない。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

pでのみ分岐するPGL(2,7)-拡大における分岐の様子を明らかにすることができた。それにより論文が概ね完成した。一方、レベルp、重さ1のmod l formの一般的な計算方法や計算結果については、まだまとめることができていない。

Strategy for Future Research Activity

レベルp、重さ1のmod l formの一般的な計算方法や計算結果について論文にまとめる。その中で、代表的な具体例であるnon-liftable mod 3 formに付随すると考えられるPGL(2,9)-多項式について、より効率的な探索方法を考案し、発見につなげたい。また、感染症対策のためこれまで外部での研究発表がほとんどできていないため、状況次第ではあるが令和4年度は成果発表をおこないたい。

Causes of Carryover

新型コロナウイルス感染症の影響で研究集会等への出張ができなかったため、その旅費分が次年度使用額として残った。パソコン・計算機整備費、消耗品費、資料・書籍購入費、および出張旅費として使用する予定である。