2019 Fiscal Year Research-status Report
Koszul AS-regular algebras in terms of Non-commutative algebraic geometry and Representation theory
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18K13397
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
板場 綾子 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 助教 (10801178)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | AS 正則環 / Calabi-Yau 多元環 / Beilinson 多元環 / ホッホシルトコホモロジー / 非可換射影スキーム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
任意の3次元quadratic AS-正則環の代数的分類が先行研究において未完成であったが、本論文で幾何的代数の観点からこれを完成させた。これは静岡大学の松野仁樹氏との共同研究であり、Mathematical Journal of Okayama University への採択が決定された。さらに、楕円曲線以外に対応する任意の3次元quadratic AS正則環に対して, regular twisted superpotentialおよびCalabi-Yau superpotentialの完全なリストを与えた。この応用として、任意の3次元quadratic AS正則環Aに対して, あるCalabi-Yau AS 正則環Sが存在し, AとSは次数付き森田同値であることを示した。 これはAの非可換射影スキームを研究することはSの非可換射影スキームの研究することへ還元できることを示唆する結果である。本論文も静岡大学の松野仁樹氏との共同研究であり、現在投稿中である。
次数が(1,n)の重み付きdown-up 多元環AのBeilinson 多元環のホッホシルトコホモロジー群の次元を代数学的手法を用いて決定し、Aの関係式の条件で3つの場合分けになることを示した。Grothendieck 群の研究への応用として、得られたホッホシルトコホモロジー群の次元とを用い、n =2 のとき、 tails Aの有界導来圏はsmooth な射影超曲面のような振る舞いをすることがわかった。しかし、nが3以上のとき、 tails Aの有界導来圏はどんなsmooth な射影超曲面の導来圏とも同値にならないことが判明した。本論文は弘前大学の上山健太氏との共同研究であり、Journal of algebras and its applications に採択が決定された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当該年度の目標以上の成果が達成されたため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の目的は、非可換代数幾何学と多元環の表現論における毛利出氏(静岡大学)の予想「有限次元多元環をcogeometricかつ自己移入的コシュール多元環とする。このとき、多元環が有限条件(Fg)を満たすことの必要十分条件は、射影空間の部分集合Eの自己同型の位数が有限であることである」を、毛利氏によって導入された射影空間の部分集合Eの自己同型のノルムの概念と、”カテゴリー化した有限条件(Fg)”を導入することで、圏論的に解決できないか考察することである。つまり、「有限次元多元環をcogeometricかつ自己移入的コシュール多元環とする。このとき、多元環が”カテゴリー化した有限条件(Fg)”を満たすことの必要十分条件は、射影空間の部分集合Eの自己同型のノルムが有限であることである」と予想を圏論的なものへ拡張する。まず手始めに、以前の研究で、Eがn次元射影空間の場合と、radical の4乗が0になるようなcogeometricかつ自己移入的コシュール多元環に関してこの予想の主張を証明しているので、この場合で成立するかどうかに取り掛かる。
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| Causes of Carryover |
2020年2月末と3月中の出張予定が、コロナウイルス感染症対策のためすべて延期になったため、次年度使用額が発生した。この予定は2020年度に行われる予定のため、すべて次年度の出張への使用予定である。
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