2021 Fiscal Year Research-status Report
表現スキームによるコーエン・マコーレー加群圏の構造解析
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18K13399
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| Research Institution | Kure National College of Technology |
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Principal Investigator |
平松 直哉 呉工業高等専門学校, 自然科学系分野, 准教授 (20612039)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 関手圏 / Cohen-Macaulay加群 / 加算CM表現型 / Krull-Gabriel次元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2021年度は昨年度に引き続き、極大コーエン・マコーレー(MCM)加群の関手圏のクルル・ガブリエル次元について考察をした。2020年度の1次元A加算表現型の超曲面環k[[x,y]]/(x^2)における結果を任意次元に拡張することを目的に、クネーラの周期性によるクルル・ガブリエル次元の振る舞いを考察した。クネーラの周期性は超曲面環S/(f)とS[[u, v]]/(f+uv)の間のMCM加群の安定圏の圏同値を与えるもので、これにより奇数次元のA加算表現型超曲面環上のMCM加群の関手圏のクルル・ガブリエル次元が等しく2であることがわかる。2021年度では超曲面環S/(f)とS[[u]]/(f+u^2)上のMCM加群圏の間にあるクネーラ型の関手について、その随伴性に注目し、その関手によって誘導される関手圏上の単純関手などの振る舞いを考察した。それにより、一般に超曲面環S/(f)とS[[u]]/(f+u^2)上のMCM加群圏の関手圏のクルル・ガブリエル次元は等しいことがわかった。これにより、任意次元のA加算表現型超曲面環上のMCM加群圏の関手圏のクルル・ガブリエル次元は2であることが従う。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
2020年度の結果を任意次元に拡張できたこと、またその手法としてクネーラの周期性を用いたこと（クネーラの周期性関手によるクルル・ガブリエル次元の振る舞いを明確にすることができたこと）は評価できると考えている。一方で、本課題の主目的であるTrichotomy問題、例えば加算表現型の特徴づけなどに2020年度の考察を発展させるまでには至っていない。以上の理由からやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き関手圏の構造解析を中心に考察を進める。2021年度にできなかったクルルーガブリエル次元の最大値を与える関手についての考察を中心に、加算表現の特徴づけを試みる。またこれまでの考察からMCM加群圏のAR箙の構造がクルルーガブリエル次元に深く関わっていることがわかってきたので、基礎環として次数付き環を考えることでAR箙の構造を平易にして、先の特徴づけなどの問題を考察する。
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| Causes of Carryover |
2021年度も新型コロナ感染症によるパンデミックが収束せず、研究課題に関連する国際会議、学会等が中止または延期になり参加を予定していた出張の取りやめ、また研究打ち合わせなども取りやめたため、差額が生じた。2022年度は書籍や論文複写購入費、またオンラインを利用した研究課題に関連する知見の収集のための講演や、助言等への人件費、謝金等に使用する。
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