2018 Fiscal Year Research-status Report

Study of Selmer groups of twisted triple products via p-adic geometry

Research Project

Project/Area Number	18K13401
Research Institution	Institute of Physical and Chemical Research
Principal Investigator	石川勲国立研究開発法人理化学研究所, 革新知能統合研究センター, 特別研究員 (80804236)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2021-03-31
Keywords	保形表現 / 岩澤理論
Outline of Annual Research Achievements	2018年度においては、Asai局所因子および捻れ３重積保形表現の局所因子に関する乗法性の更なる精密化、及び、Lambda進Asai transferの構成を行った Asai表現、及び、捻れ3重積は近年活発な研究が数論でなされており、保形表現論的な文脈の他にも、対応するGalois表現、そして、幾何的実現であるモジュラー曲線とHilbertモジュラー局面の直積上での代数幾何的、そして、p進幾何的な文脈から考察がなされている。研究代表者はAsai表現、及び、捻れ3重積の局所因子についてGalois側と保型側の一致性について簡単な場合には結果を得ていたが、それぞれの表現に対して課題が残っていた。Asai表現については一般階数の一般線型群について保型側とGalois側の一致についての局所的な証明を与えるというものである。2018年度にRaphaelによって大域的な手法を用いた証明が与えられていたが、大域的な手法を用いずに示す技術を見出すことは重要である。この問題は表現が主系列である時に保型側で乗法性が成立することが本質的であるが、主系列表現にいくらか強い仮定を課すと示すことができた。捻れ3重積については、捻れ側が主系列で捻れていない側が超尖点表現の場合に保型側の局所因子の乗法性を示すことが本質的である。これについてはBushnell-Kutzko’s理論が有用であり、それらを応用しての解決を試みた。 Lambda進Asai transferは実2次体Galois表現のHida族をそのAsai表現の族に写す射を幾何的に実現する操作を指す。Ohtaによるモジュラー曲線上における既存研究をヒントにそれらをHilbertモジュラー曲面への拡張を試みた。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason Asai表現、及び、捻れ３重積に関する課題の解決のための計算に時間を要し、当初よりも大幅に研究時間を割いてしまったことが原因と考えられる。また、現在本研究の他にも機械学習を始めとした応用数学的な研究プロジェクトにも従事しており、基本知識の習得から研究、実証実験、論文執筆、そして、学会発表などの一連の業務も重なり、一つの課題にまとまった時間を長期で取れなかったこともいくらかの影響があると考えられる。
Strategy for Future Research Activity	まだ完全解決をしていないAsai表現、及び、捻れ3重積の研究については引き続き研究を進める。 Asai表現についてはまだ考察を進めていない別の種類の主系列表現に付随するAsai表現の乗法性についての証明を完成させる。捻れ3重積についてはBushnell-Kutzko’s理論を用いて引き続き考察を深めていく。 Lambda進Asai transferについては研究計画にも記述していたように非常に難しい部分であり現状の戦略では頓挫する可能性があるため、志村曲線上での考察も進めていく。また、昨年度研究する予定だった曲面上のColeman積分の研究も行う。
Causes of Carryover	2018年度は夏に国際数学者会議、及び、研究集会がリオデジャネイロであり、それらに参加予定だったが現在所属の研究所におけるいくつかの業務と重なってしまい参加ができなかったため、それに使用予定だった旅費が差額として残っている。また、台湾にいる共同研究者と打ち合わせをする予定であったが日程に調整ができなかったのも原因である。本年度は今回生じた差額分を用いて海外の研究者との打ち合わせ、招聘、及び、海外の研究集会に赴き学会発表をしていく予定である。