Study of Selmer groups of twisted triple products via p-adic geometry

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K13401
• Research Institution: Ehime University
• Principal Investigator: 石川 勲 愛媛大学, データサイエンスセンター, 特定教員(助教) (80804236)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 捻れ三重積p進L関数

Outline of Annual Research Achievements

昨年出版されたGL_2上のAsai表現は局所因子のGalois側と保型側の一致性の局所的な証明を再考し、一般のGL_nに関する一般化を考察した。Glboalな手法を用いたものはRaphaelによって解決されているが、localな手法に基づくものは知られていない。次数が高い場合、主系列表現の場合を中心として考察を行なった。
通常の３重積におついては中心値の平均値について初等的な手法を用いた明示公式が知られている。昨年度から、これらを捻れ３重積に一般化することを考察していた。主にbalancedな関係にあるHibert保型形式と楕円保型形式の組を焦点を絞り、既存の手法の一般化を試みた。一般にはArthurなどにより証明された保型表現の跡公式を応用する場面であるが、四元数環上の問題であるため、四元数環のorderや共役類の分類定理が重要となる。balancedな状況ではQun Liらによる研究で四元数環の単数群の具体的な位数などが知られているため、それらを用いて部分的な結果が得られている。
近年ではMarshallによる通常の3重積における量子エルゴード性に関する予想についての結果が報告されている。これらはラプラシアンの固有関数から定まる測度が弱い意味で元のリーマン計量から定まる体積形式に一致するかという予想である。これを受けて、これらを捻れ三重積への拡張を考察した。市野公式が本質的に応用されており、申請者が得た分裂公式が応用できると考えられるため、これらの考察を進めている。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

現在、データ解析に関係する関数空間論や力学系の解析に関わる研究プロジェクトに従事しており、多くのエフォートを割かなければいけない状況となっている。そのため、本研究課題に注力できる時間が限られたものとなってしまい、研究を進展させることができなかったことが原因と考えられる。また、新型コロナウイルスの影響で大学の運営に大幅な変更が多数起き、それらへの対応（リモート授業への対応など）も重なっていることも一つの要因である。

Strategy for Future Research Activity

他の研究プロジェクトとの兼ね合いを考えて研究目標を修正する必要性があると考えられる。具体的には、より捻れ3重積の解析的（力学系的な性質やL関数の中心値の具体的の具体的な評価など）をまず完成させる必要があると思われる。

Causes of Carryover

研究を進める上で主な支出となるのは旅費であるが、今年度はコロナウイルスの蔓延により全ての出張がキャンセルになり旅費として研究費を使用することが困難となった。