自由ループ空間の有理係数ホモロジーの研究

2018 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K13403
• Research Institution: Nippon Institute of Technology
• Principal Investigator: 内藤 貴仁 日本工業大学, 共通教育学群, 講師 (20724511)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 自由ループ空間 / ストリングトポロジー / 有理ホモトピー論

Outline of Annual Research Achievements

本研究の目的は、自由ループ空間の有理係数(コ)ホモロジーの構造を調べる事である。自由ループ空間のホモロジーは、他の様々な分野と関連する興味深い幾何学的対象である。例えば、リーマン多様体上の測地線や、Hochschildホモロジー、シンプレクティック幾何学のフレアーホモロジー等と関連する事が知られている。しかし、自由ループ空間のホモロジーは複雑な構造をしている。例えば、コホモロジー環は無限生成となり、一般的に計算することは非常に困難である。一方で、Chas-Sullivanにより導入された、ループ積と呼ばれる自由ループ空間のホモロジー上の積構造に着目すると、これまで知られている具体的計算例は、全て有限生成となることがわかる。しかし、現状計算例が少なく、一般的に有限生成かどうかは分かっていない。
今年度は、有理ホモトピー論、特に自由ループ空間とループ積のSullivanモデルを用いて、ループ積の生成元について調べた。その結果、単連結、rationally elliptic 4次元多様体の場合は、全て有限生成であることを示す事が出来た。更に、その生成元がHodge分解と呼ばれる自由ループ空間のホモロジーの直和分解の0次と1次の部分に集まっている事を発見した。0次部分は多様体のホモロジー、1次部分はループファイブレーションの切断の空間のホモトピー群と関連することが知られており、その関連性により生成元の幾何学的意味についても解明する事が出来た。一般的に単連結、rationally elliptic多様体の場合にも同様の結果が成り立つことが期待される為、現在研究を進めている。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は当初計画していた通り、有理ホモトピー論を用いた自由ループ空間のホモロジーの研究を行った。その結果、単連結、rationally elliptic 4次元多様体のループ積の生成元についての研究成果が得られた。特に、ループ積の生成元を明確にしただけではなく、その生成元がHodge分解のどの次数に現れるのかを考察した点は、今年度の大きな進展であると考えている。

Strategy for Future Research Activity

ループ積の生成元についての研究を進める。特に多様体のコホモロジーがGCI代数となる場合や、より一般的に、多様体のSullivanモデルがpureとなる場合に着目し研究を行う。特に生成元とHodge分解との関係を明らかにし、自由ループ空間のホモロジー類の幾何学的特徴付けを目指す。

Causes of Carryover

「次年度使用額」は必要に応じた執行分の端数として生じたものである。
研究計画に変更はなく、前年度の研究費も含め、当初予定通りの計画で進めていく。