2018 Fiscal Year Research-status Report
高次元線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解
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18K13404
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
北山 貴裕 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10700057)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 3次元多様体 / 離散群 / 位相不変量 / 表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
高次元線形表現のモジュライ空間の幾何学の低次元トポロジーへの応用を基礎付け，当研究領域を育成することを目的として研究を行った．
初年度は，3次元多様体内の曲面の複雑性を図った量であるThurstonノルムと，モジュライ空間上の特別な関数であるねじれAlexander多項式の間に知られる関係の拡張性を追究した．FriedlとLueckのよって，群の1次コホモロジー類のねじれL^2-Euler標数が導入され，3次元多様体の基本群に対しては当不変量がThurstonノルムと等価であることが示されている．本研究では，ある群のクラスに対して，ねじれL^2-Euler標数はある線形表現に付随するねじれAlexander多項式によって捉えられることを示した．このクラスは，直交Artin群の部分群であって，コンパクトなEilemberg-MacLane空間を持つ群を全て含む．特に，3次元多様体の基本群はそのような群の典型例であり，この結果は，3次元多様体のThurstonノルムに対するFriedl，Nagel，Vidussiによる先行結果を一般の離散群の場合にまで拡張するものである．
また，Korea Institute for Advanced Study（韓国・ソウル）で開催された，国際研究集会Seoul-Tokyo Conference in Mathematics 2018の組織委員を務めた．集会では，Geometry and Topologyをテーマとして，低次元トポロジーを含む幾何学の諸話題を巡って，東京とソウルの研究者を中心とした学術交流が行われた．集会には大学院生を含む若手研究者が多数参加し，当該分野の今後の発展に寄与するものと期待される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究は，線形表現のモジュライ空間及びその上の特別な関数の研究を，3次元多様体から一般の離散群の場合に拡張するための足掛かりとなる．特に，今後計画している，モジュライ空間の無限遠点から構成される3次元多様体内の本質的曲面とトーション不変量との関係の研究を促進することが期待される．また，当初計画していた，一点穴あきトーラス束のSL_3-A多項式の計算も順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究を足掛かりに，3次元多様体の基本群の研究で得られたアイデアを一般の離散群の場合に拡張する研究を更に進める．ドイツのレーゲンスブルク大学に研究滞在し，Stefan Friedl教授と密接な研究打ち合わせを行う予定である．また，本研究のテーマに基づいたセミナーを企画し，研究領域の育成・発展を図る．これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心掛け，研究を更に深める．
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