2020 Fiscal Year Research-status Report
高次元線形表現のモジュライ空間と3次元多様体の分解
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18K13404
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
北山 貴裕 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (10700057)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 3次元多様体 / 位相不変量 / 表現 / 交叉形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
高次元線形表現のモジュライ空間の幾何学の低次元トポロジーへの応用を基礎付け、当研究領域を育成することを目的として研究を行った。当該年度は、基本群の表現に付随する位相不変量の新しい応用として、特に、多様体のねじれ交叉形式及びねじれBlanchfield形式の応用を追究した。
Stefan Friedl氏、Alexander Neumann氏、鈴木正明氏との共同研究において、3次元球面内の結び目のGordian距離のねじれBlanchfield形式による下からの評価を与えた。特に、二つの結び目に対して、一方の結び目ともう一方の結び目の鏡像の向きを反転したものとの連結和のねじれBlanchfield形式を考える。これはBorodzikとFriedlによる代数的結び目解消数に関する先行結果を一般化するものである。更に、我々はこの評価を用いて、最小交点数が10以下である幾つかの素な結び目の間のGordian距離を決定することに成功している。
また、オンラインで開催された国際研究集会The 16th East Asian Conference on Geometric Topologyの世話人を務めた。集会では、低次元トポロジーを含む幾何学の諸話題を巡って、日本、中国、韓国の研究者を中心とした学術交流が行われた。
なお、前年度より本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」（18KK0380）を実施している。ドイツのレーゲンスブルク大学に長期滞在し、Stefan Friedl教授を主な共同研究者として国際共同研究を進展させている。一方で、新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、特に出張を伴う研究活動が大きく制限された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新たな展開として、特にねじれ交叉形式及びねじれBlanchfield形式に着目した、基本群の表現に付随する不変量の4次元トポロジーへの応用研究が進むことが期待される。また、予定していた、高次元線形表現のモジュライ空間の情報から本質的曲面の境界スロープの制約条件を導く研究が順調に進んでいる。一方で、新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、特に出張を伴う研究活動が大きく制限されている。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究に引き続き、ねじれ交叉形式及びねじれBlanchfield形式を応用した結び目の4次元種数の研究を進める予定である。欧州の共同研究者とは当面オンラインで研究連絡を行う。また、本研究のテーマに基づいた（オンライン）セミナーを企画し、研究領域の育成・発展を図る。これまでに得られた成果を講演等により積極的に発信することを心掛け、研究を更に深める。
新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、本研究課題を基課題とする研究課題「線形表現の高次元変形による本質的曲面の分布と複雑さの研究」（18KK0380）とともに、特に出張を伴う研究活動が大きく制限されることで、当初の研究計画の遂行に支障が生じることが見込まれる。そのため、今後の状況に応じて、補助事業期間の延長を申請することを検討する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症拡大の影響により、当初予定していた研究打ち合わせ及び情報収集のための国内外の出張を行えなかったために、次年度使用額が生じた。
本研究の遂行上必要になる専門書籍、パソコン周辺機器、文具を購入するための費用として支出し、また、研究打ち合わせ及び情報収集のための旅費として支出する。
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| Remarks |
北山研究室ホームページ
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kitayama/index_j.html
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