Symplectic Geometry and Geometry of Loop Spaces

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K13407
• Research Institution: The University of Tokyo
• Principal Investigator: 入江 慶 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90645467)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: シンプレクティック容量

Outline of Annual Research Achievements

シンプレクティック幾何学におけるFloer理論と、その応用としてHamilton力学系の周期軌道について研究している。今年度は以下の研究を行なった。
(1) 任意の境界（および角）付きRiemann多様体に対して、その自由ループ空間の$S^1$同変ホモロジーから定まる定量的不変量の系列を定義した。これらの不変量は、多様体の単位余接束の$S^1$同変シンプレクティック容量と一致すると予想されるものである。現在投稿中の論文においてこれらの不変量の基本的な性質を証明し、また多様体が直方体の場合に不変量の計算を行い、シンプレクティック容量についての既知の結果との整合性を確かめた。
(2) 埋め込み接触ホモロジーのReeb力学系への応用について、前年度までに執筆した論文二編を査読者のコメントに従い改訂した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

研究実績の(1)で述べた結果に基づき、力学系の観点からより興味深い例（Sinaiビリヤードなど）についてシンプレクティック容量の計算を行う予定であった。これは当初想定していたより難しく、より簡単な例について若干の試行的な計算結果を得るにとどまっている。

Strategy for Future Research Activity

研究実績の(1)で述べた結果に基づき、力学系の観点からより興味深い例についてシンプレクティック容量の計算を得るため、考察を続ける予定である。このシンプレクティック容量はシンプレクティック・ホモロジーにかかわるものであるが、擬正則曲線の理論を用いて定義されるより高度な不変量から定義されるシンプレクティック容量についても研究を本格化させたい。

Causes of Carryover

主に出張旅費として使用する予定であったが、コロナ禍により出張がほぼ不可能となった。
次年度も出張や研究者招聘を行う機会はあってもわずかと考えられるので、大部分は書籍、IT機器、文房具などの購入に当てる予定である。