2018 Fiscal Year Research-status Report

リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究

Research Project

Project/Area Number	18K13411
Research Institution	Meiji University
Principal Investigator	古賀勇明治大学, 理工学部, 助教 (60782232)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2022-03-31
Keywords	複素グラスマン多様体 / 調和写像 / 等質ベクトル束
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題では正則等長写像の分類を目的としているが，ベクトル束と写像の変形についての考察を深めるために今年度は以下の二つの課題に取り組んだ．（1）長友康行氏（明治大学）との共同研究で，ユニタリ不変なYang-Mills接続を持つリーマン球面上の階数2の等質ベクトル束から誘導されるユニタリ群同変調和写像の分類を行った．このような接続はすでに長友氏との共同研究で得ていたので，切断の空間の固有空間分解と各部分空間に定まるユニタリ群の作用を記述することで調和写像を構成するための標準的なevaluation mapを一つ固定して変形することで，写像を全て得ることができた．正則写像の場合に一径数族が存在することはすでにわかっていたが，それは接続の一径数族と対応していたが，本研究でも一径数族が得られたが，それは接続の一径数族とは無関係なもので純粋に部分多様体論的なものであった．（2）高橋正郎氏（久留米工業高等専門学校）との共同研究で，一般次元の複素射影空間から複素グラスマン多様体への特殊ユニタリ群同変な正則写像の一径数族の構成を行った．まず複素射影空間上の高階自明束に平坦でない接続の族が構成できることを確認し，それに直線束をテンソルして正則切断の空間が非自明になるようにして標準写像を定義し，その変形を行った．得られた正則写像による普遍商束の引き戻し束の構造を調べたところ，正則写像が得られるためにはこの引き戻し束の平均曲率作用素が正定値であることが必要十分であることがわかった．階数2の複素グラスマン多様体からの正則等長写像の族の構成も試みたが，表現論の困難さと他業務との兼ね合いから当該年度だけでの解決には至らなかった．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 本課題に関連する重要な結果を二つ得ることができたが，本来目的としていた直線束の直和からの誘導写像については研究が滞ってしまったため．リーマン球面から4次元階数2の複素グラスマン多様体への正則等長写像の変形問題に取り組んだが，予想以上の複雑さにぶつかったため，1年では解決することができなかった．しかしながら当該年度に変形問題について多くの勉強を重ねることができたことから次年度には解決できると考えているので，現在の進捗状況は「やや遅れている」とした．
Strategy for Future Research Activity	（1）Yang-Mills接続をもつ階数2の等質ベクトル束からのユニタリ同変とは限らない正則等長写像の構成を行う．（2）正則写像を持ちうる接続の分類を行う．ここでは，extensionを用いて接続のゲージ同値類を構成し，その平均曲率作用素について調べるつもりである．
Causes of Carryover	当初予定していた研究会への参加が，都合によりキャンセルになってしまい参加できなくなってしまったことと，研究代表者の研究環境が申請当時と大幅に変わったため，助成金の使いすぎに細心の注意を払った結果使い切れなかったことが理由である．次年度も研究出張の旅費に大部分を使用するとともに，研究に必要な書籍や論文の購入にも使用する予定である．