2019 Fiscal Year Research-status Report
リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究
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18K13411
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
古賀 勇 明治大学, 理工学部, 助教 (60782232)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 複素グラスマン多様体 / 正則等長写像 / 同変写像 / 正則ベクトル束 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当初の予定では複素射影直線上の階数2の正則ベクトル束の非等質な接続の構成と，接続のモジュライの具体的な構成を目標としていたが，それはうまく行かなかった．非等質な正則ベクトル束の不変接続の分類は複雑な偏微分方程式を理解する必要があるが，研究代表者にはそれを理解する能力がなかったのが要因である．
そこで方針を変更し，一般次元の複素射影空間から階数の低い複素グラスマン多様体への同変正則写像の分類を行った．
まず始めに複素射影空間上の特定の階数の正則ベクトル束の不変接続のモジュライを構成したが，それより低い階数の正則ベクトル束の不変接続のモジュライは1点になるだろうと予想し，実際にそうなることが証明できた．これにより，複素射影空間からある階数の複素グラスマン多様体への同変正則写像は不変接続のモジュライの部分集合として特徴づけられることと，その階数以下の同編正則写像は剛性を持つことを示すことができた．また同時にそれらの写像を具体的に構成することもできた．
リーマン球面から複素グラスマン多様体への正則等長写像の分類の試みは多くあるが，一般次元の複素射影空間からの正則等長写像の研究は多くない．これは従来の部分多様対論的手法を用いると計算が複雑になりすぎるためである．今回の研究は正則ベクトル束の接続の分類を利用したもので，従来のものとは一線を画すものであり，写像の分類まで可能になると示すことができたという意味でとても意義深いものである．
本研究結果は現在執筆中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初の研究予定であった複素射影空間上の階数2の正則ベクトル束の接続の分類と，それに付随する正則等長写像の関係については非等質の場合がまだ難しく，期待通りには結果を得ることができなかった．
しかしながら方針を高次元の方向に修正することで満足の行く結果は得ることができたので進捗状況としては「やや遅れている」とした．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，うまく行かなかった非等質な接続の構成と，接続のモジュライの具体的構成を目標とする．
しかしそれが非常に難しいこともあるので，リーマン球面から低次元複素グラスマン多様体への非糖質な正則等長写像の具体的な構成をまず行い，非糖質なものを捕まえるための準備を更に進めていきたいと思っている．
同時に現在執筆中の論文の完成と投稿も行う．
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| Causes of Carryover |
年度末に研究備品購入や研究出張に使用予定であったものが，新型コロナウイルスの流行による学会や研究集会の中止，研究以外の業務が増えた影響による研究の停滞などの理由により予定通りに研究費を使用できなかった．
次年度には新型コロナウイルスが落ち着いた後改めて出張や研究に必要な備品の購入のために利用したいと考えている．
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