2021 Fiscal Year Research-status Report

リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究

Research Project

Project/Area Number	18K13411
Research Institution	Meiji University
Principal Investigator	古賀勇明治大学, 理工学部, 助教 (60782232)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	調和写像 / 正則写像 / 部分多様体 / ゲージ理論 / 正則ベクトル束
Outline of Annual Research Achievements	昨年度に引き続き複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変な充満調和はめ込みの分類問題について研究を行った．昨年度までにゲージ理論的な考察により，正則ベクトル束O(k_1)+O(k_2)上のベクトル束の接続に注目し，同変直線束の次数の差k_2-k_1に注目し，3パターンに場合分けをして同変調和写像に対応する切断の空間の部分空間とそこに定まる内積を決定していた．今年度はこの結果をより広く多くの研究者（特に部分多様体論の研究者）に理解してもらえるよう，抽象的なベクトル空間と線型写像という枠組みで書き換えを行った．これは，長友によるdo Carmo-Wallachの定理の拡張のある種の言い換えになっている．これによりこの書き換えにより論文全体の記号や用語の節約が可能になり，部分多様体論的に見通しの良い形に定式化することができた．特に2つの正則直線束の次数の差が2の場合，ベクトル束に定まるSU(2)不変接続が標準接続以外にもたくさんあることがわかっていたが，そこに注目して分類を行ったところ，昨年度は多くの記号を必要とし，多少煩雑に感じる部分も多くあった．今年度ゲージ理論から少し距離を置いた見方をして整理したことで必要な部分と不要な部分をしっかりと取捨選択でき，同変調和写像の分類問題の本質的に重要な部分を切り取ることに成功したと考えている．また，SU(2)同変でない正則等長写像の分類問題にも取り組んだが，既に知られているターゲットが複素4次元エルミート空間から定まる複素グラスマン多様体への正則等長写像に対応する正則ベクトル束と接続のペアについては確認できたが，それ以上新しい結果を得ることはできなかった．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason 最も大きな理由は新型コロナウイルスの蔓延に伴い，研究以外の業務が増えてしまったことである．また，当初の目的であった同変でない正則等長写像の構成問題は解析的に難しく，具体例を構成するところすらうまくいかなかった．
Strategy for Future Research Activity	今年度は具体例の構成を目的とし，ターゲットを具体的な低い次元に固定し，SU(2)同変でない正則等長写像の具体例を構成したい．その後，正則写像に対応するベクトル束の接続の分類問題もまだ解決できていないので，まずは標準接続に対応する非同変写像の存在・非存在について確認するつもりである．
Causes of Carryover	2021年度は新型コロナウイルス感染拡大防止のため，当初予定していた学会・研究集会の多くが延期またはオンラインとなり出張予定がなくなったのが大きな原因である． 2022年度はこれまでより多くの研究会が対面で開催される方向で進んでいるので，積極的に出張し，自身の研究発表とともに最新の研究に関して勉強するつもりである．