2022 Fiscal Year Research-status Report
リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究
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18K13411
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
古賀 勇 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 研究員 (60782232)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 複素グラスマン多様体 / 四元数射影空間 / 3次元球面 / 同変調和写像 / 同変正則写像 / 表現論 / ベクトル束 / ゲージ理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変正則写像の構成と分類の問題についてすでに得られていた結果を論文にまとめた．（長友康行氏（明治大学）との共同研究）そしてこの論文はOsaka Journal of Mathematicsから出版された．
次に上記結果の拡張として，複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU(2)同変調和写像の構成と分類の問題に関して前年度までに得られていた結果を論文にまとめた．この論文は現在投稿中である．
次に同変調和写像の分類問題への取り組みとして，(1)複素射影空間から四元数射影空間への調和写像の分類問題と(2)3次元球面から複素射影空間への調和写像の構成と分類問題について研究を行った．これらの問題に注目している研究者はこれまでにもいたが従来の手法では考察が難しかったため研究が進んでいなかったが，ゲージ理論を応用することでより洗練された結果を得ることを研究代表者は研究協力者の長友氏との共同研究で見出した．現在までの進捗は以下のとおりである．
(1) 四元数射影空間への調和写像は始集合上の階数2，次数0のベクトル束から誘導される．そのようなベクトル束の位相と接続が問題となるが，始集合が複素射影直線の場合は接続の分類に関してすでに調べており，2次元以上の複素射影空間上のベクトル束は次数が符号を除いて一致する直線束の直和になることがすぐにわかる．これらのことと四元数構造の存在に注意して，同変調和写像の分類結果を得た．
(2)3次元球面から複素射影空間への全実写像の構成・分類問題に注目した．この時考えるべきベクトル束は階数1の自明束である．したがって3次元球面上の滑らかな関数全体のなす空間のラプラシアンによる固有分解を考えることで，Liによるこの問題の先行結果をゲージ理論的に書き直すことができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初の計画では複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体への複素グラスマン多様体への非等質な正則等長写像の構成を目指していたが，この問題へ取り組む上での困難があったことから等質な写像の分類に方針転換したことが理由である．しかしこの新たな方向性の元では始集合を複素射影空直線以外に拡張するなど，一定の成果が上がっていることは注意しておく．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在取り組んでいる(1)複素射影空間から四元数射影空間への調和写像の分類問題と(2)3次元球面から複素射影空間への全実調和写像の分類問題に取り組む．これまでの研究で一定の方向性は見出せているので，このまま推進し，論文を仕上げる予定である．
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| Causes of Carryover |
4月から10月は今年度は新型コロナウイルス流行対策に変更があり，対面授業を中心にしたハイブリッド授業を行うことが必要になったために教育とその準備のために多大な時間を要することになり当初予定していていた研究時間の確保と研究出張を行うことができなかった．10月から3月は，10月に研究代表者の所属が変わり，新しい環境への対応のために研究時間の確保ができなかった．以上が次年度使用額が生じた理由である．
使用計画は次のように予定している．コンピュータが劣化してきて計算速度が低下してきたため，コンピュータの買い直しを検討している．また日本数学会主催の秋と春の学会，幾何学分科会主催の幾何学シンポジウム，その他研究分野と関連する研究集会への出張を予定している．
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