2023 Fiscal Year Research-status Report
リーマン球面からグラスマン多様体への正則等長写像の研究
| Project/Area Number |
18K13411
|
|---|
| Research Institution | Hiroshima University |
|---|
Principal Investigator |
古賀 勇 広島大学, 先進理工系科学研究科(理), 研究員 (60782232)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2025-03-31
|
| Keywords | 調和写像 / ゲージ理論 / モジュライ / 同変写像 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体へのSU非同変な正則写像の構成に困難があったため，同変性やその他条件を加えた場合の調和写像のモジュライの構成理論について考察を行い，以下の結果を得た．
（1）前年度得ていた複素射影空間から四元数射影空間へのSU同変調和写像の分類について，表現空間に定まる四元数構造についての考察がさらに必要だったことがわかったのでそれを修正した．本結果は現在投稿中である．
（2）3次元球面から複素射影空間への全実調和写像のモジュライの構成問題に前年度に引き続き取り組んだ．先行研究でLiによってAbsolutely realという概念が定義され，Not absolutely realな全実調和写像は部分的な構成にとどまっていた．今年度私は長友康行氏（明治大学）との共同研究により，一般の全実調和写像のモジュライを構成した．またその特別な場合としてAbsolutely realな全実調和写像のモジュライも求め，さらにSU(2)×SU(2)同変調和写像，SU(2)同変調和写像のモジュライも一般の全実調和写像のモジュライの部分集合として得られることがわかった．本結果は現在投稿中である．
（3）複素射影空間から複素射影空間へのSp同変調和写像のモジュライを構成した．先行研究としてKobayashiがSp既約表現空間から得られる複素射影空間への同変調和写像のエネルギー密度関数を求めていたが，本研究でそれらが複素射影空間上の正則直線束のラプラシアンの固有値と一致すること，そしてラプラシアンの固有空間のSp既約分解とまさに対応することが確認できた．これらの結果を用いてSp同変調和写像のモジュライを構成し，モジュライの境界にKobayashiの構成した写像が現れることが確認できた．本結果は現在執筆中である．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初計画していた複素射影直線から階数2の複素グラスマン多様体への正則等長写像の構成問題は非同変なものを扱うことと等長写像という仮定に困難があったため，当初の計画の通りには進んでいない．一方，ベクトル束の不変接続に関する理解を深めるためにこれまでとは異なる仮定を置いた場合の調和写像のモジュライの構成には成功しており，これらの問題への考察から当初の仮定である等長性を修正することで本課題へのアプローチが可能ではないかというアイディアを得ることができた．
以上の結果から進捗状況は「やや遅れている」とした．
|
| Strategy for Future Research Activity |
正則等長写像ではなくエネルギー密度関数一定な正則写像・調和写像の構成問題について取り組む．そのために（1）標準接続に対応する非同変調和写像の具体例を構成し，（2）SU(2)不変接続に対応する非同変調和写像のモジュライの構成問題に取り組むつもりである．
|
| Causes of Carryover |
複数の研究集会への出張を予定していたが，研究代表者の本務の都合により出張できなかったものがいくつかあり，その分の支出がなくなったのが理由である．
研究代表者が所属を異動したため，異動先での研究環境を充実させるために書籍を購入する．また日本数学会2024年度秋季総合分科会，日本数学会2025年度年会への参加を予定している．
|
