2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K13413
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
阿部 拓 大阪府立大学, 高等教育推進機構, 教育拠点形成教員 (00736499)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ヘッセンバーグ多様体 / 完全可積分系 / Mishchenko-Fomenko多項式 / 戸田格子 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成30年度は，ある特別なヘッセンバーグ多様体の族のなす空間について考察し，複素シンプレクティック幾何における完全可積分系の視点から，Northeastern UniversityのPeter Crooks氏と共同研究を行った．
ヘッセンバーグ多様体が与える空間の中でよく知られたものとして，Peterson多様体や，ルート系に付随するトーリック多様体などがあるが，これらを定めるヘッセンバーグ空間は同一のものである．このヘッセンバーグ空間をHと書くとき， Hから定まるヘッセンバーグ多様体全体のなす空間X(H)を考えると，この族はPeterson多様体やルート系に付随するトーリック多様体を含み，さらに旗多様体上のベクトル束になっている．我々はまず，X(H)上に自然な正則ポアソン構造があること，及びMishchenko-Fomenko多項式を用いることでX(H)上の完全可積分系が構成できることを示した．さらに，このポアソン多様体X(H)が唯一つの開シンプレクティック葉を持ち，この開シンプレクティック葉上に第一積分を制限して考えたものが以前Crooks-Rayanによって考察されていた可積分系に一致すること，及びそれがよく知られた可積分系である戸田格子を部分系として含んでいることを証明した．また，これらの関係を調べる過程において，Hから定まる正則ヘッセンバーグ多様体の特異点集合の記述についても応用を得た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的の一つである，ヘッセンバーグ多様体の族のなす空間とCrooks-Rayan系と戸田格子の関係については，正則ポアソン構造とその上の完全可積分系の言葉を用いることで明確に説明することができた．この意味で，本研究は順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，個々のヘッセンバーグ多様体上の可積分系の研究にも取り組んでいきたい．特に，旗多様体の上のGelfand-Zetlin系と，ルート系に付随するトーリック多様体上の可積分系を繋ぐものがあるかどうかという問題は興味深い．さらに，半単純な正則ヘッセンバーグ多様体がいつ（弱）ファノ多様体の構造を持つかどうかという問題は完全可積分系の存在と関係しており興味深い．
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| Causes of Carryover |
次年度にカナダのトロントで開かれるトーリックトポロジーに関する研究集会により長く滞在できるように調整した．また，購入を予定していた図書の購入を次年度に延期した．
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