2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K13413
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| Research Institution | Osaka Prefecture University |
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Principal Investigator |
阿部 拓 大阪府立大学, 高等教育推進機構, 教育拠点形成教員 (00736499)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Hessenberg多様体 / Fano多様体 / 弱Fano多様体 / 完全可積分系 / 旗多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和1年度は，正則かつ半単純なヘッセンバーグ多様体の代数幾何学的な性質について，華中科技大学の曽昊智氏と東京大学の藤田直樹氏と共同研究を行った．
ヘッセンバーグ多様体は旗多様体の部分多様体であり，行列とヘッセンバーグ関数を用いて定められる．特に，正則かつ半単純な行列から定まるヘッセンバーグ多様体は非特異かつ射影的であり，「正則かつ半単純なヘッセンバーグ多様体」と呼ばれている．このクラスのヘッセンバーグ多様体は，ヘッセンバーグ関数を適切に選ぶことで，旗多様体自身や，ある特殊なトーリック多様体を実現することから，ヘッセンバーグ多様体の中でも重要なクラスである．
今年度の研究では，正則かつ半単純なヘッセンバーグ多様体がいつFano多様体（または弱Fano多様体）になるかという問題について研究を行い，ヘッセンバーグ関数の組合せ論的なデータを用いて，完全に分類することに成功した．特に，ヘッセンバーグ関数が与えられれば，そこから定まる正則かつ半単純なヘッセンバーグ多様体がFano多様体（または弱Fano多様体）であるかどうかは，単純かつ具体的な計算で確かめることができるようになった．この研究結果の帰結として，正則かつ半単純なヘッセンバーグ多様体の反標準束がnefならば，それは必ずnefかつbigであることも分かった．また，もう一つの帰結として，正則かつ半単純なヘッセンバーグ多様体上の完全可積分系の存在問題について応用を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は，正則かつ半単純なヘッセンバーグ多様体がいつFano多様体（または弱Fano多様体）になるかという問題の完全な分類を与えることができた．また，正則かつ半単純なヘッセンバーグ多様体上の完全可積分系の存在問題についての応用も得られた．この意味で，本研究は順調に進展していると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，正則かつ半単純とは限らないヘッセンバーグ多様体の研究にも取り組みたい．特に，正則かつ冪零なヘッセンバーグ多様体の一つであるPeterson多様体の幾何学について研究を行う予定である．
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| Causes of Carryover |
予定していた図書の購入を取りやめたため．来年度の物品費として使用予定．
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