2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K13413
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
阿部 拓 岡山理科大学, 理学部, 講師 (00736499)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | Peterson多様体 / 旗多様体 / Schubert多様体 / コホモロジー環 / 基底 / 正値性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は，堀口達也氏（大阪市立大学数学研究所），鍬田英也氏（近畿大学工業高等専門学校），曽昊智氏（華中科技大学）と共に共同研究を行い，Peterson多様体のコホモロジー環の構造を調べた．以下，この研究について詳しく述べる．
Peterson多様体は旗多様体の部分代数多様体である．我々は，Peterson多様体とSchubert多様体の交わりを幾何学的な観点から考察し，Peterson多様体のコホモロジー環において，この交わりの性質をよく反映する基底を構成した．この基底は，前述の交わりの幾何的状況から様々な性質を導くことができ，特に，Peterson多様体のコホモロジーの環構造の計算に適したものである．より正確には，基底同士の積を再び同じ基底で展開する際の係数（構造定数）を具体的に計算することができる．興味深いことに，この構造定数は全て非負整数である．この正値性についても幾何学的な立場から証明を与えた．また，我々はこの構造定数の組み合わせ論的な公式も与えた．Peterson多様体のコホモロジー環の基底としては，原田-Tymoczkoによる基底が知られていたが，その幾何学的な意味は明らかでなかった．今回の共同研究で得られたもう一つの成果として，我々が幾何学的に構成した基底が原田-Tymoczkoの基底と一致していることを示した．これにより，原田-Tymoczkoの基底の幾何学的な意味が明らかになり，その諸性質が幾何学的に理解できるようになった．原田-Tymoczkoの基底の構造定数はGoldin-Gorbuttによる計算法が知られていたが，我々が得た構造定数の公式はこれとは別種の計算法であり，はるかに単純な計算方法を与えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
10年前に原田-TymoczkoによってPeterson多様体のコホモロジー環の基底が構成されて以来，その幾何学的な意味付けが期待されてきた．今回の共同研究により，この問題が解決できたと言えるので，概ね順調に進展していると言ってよい．
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| Strategy for Future Research Activity |
Peterson多様体は，正則冪零Hessenberg多様体と呼ばれるさらに広いクラスの多様体の特別なケースであるので，今回のコホモロジー環の幾何学的な構成を正則冪零Hessenberg多様体に一般化したい．また，Peterson多様体は，あるトーリック多様体の退化としても得られるので，今回構成した基底とトーリック多様体の関係も調べてきたい．
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| Causes of Carryover |
海外の研究集会への出張旅費や共同研究者を招聘するための旅費に研究費を使用する予定であったが，Covid-19の感染拡大のためこれらを取りやめたことにより，次年度使用額が生じた．来年度は，旅費だけでなく図書の購入などにも積極的に使用する予定である．
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