2022 Fiscal Year Annual Research Report
The family of Hessenberg varieties and integrable systems
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18K13413
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
阿部 拓 岡山理科大学, 理学部, 講師 (00736499)
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2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ヘッセンバーグ多様体 / Peterson多様体 / 特異点 / 正規性 / コホモロジー環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，正則冪零なヘッセンバーグ多様体の代数幾何学的な性質の研究を行った．正則冪零なヘッセンバーグ多様体については，これまでコホモロジー環の構造がよく調べられてきたが，代数幾何学的な性質は未知の部分が多かった．そこで，正則冪零なヘッセンバーグ多様体の代数幾何学的な性質について，Eric Insko氏(Florida Gulf Coast University)と共同研究を行った．まず，トーラス作用の固定点が非特異であるための必要十分条件を調べ，それをヘッセンバーグ関数の言葉で具体的に記述した．さらに，その結果を応用し，正則冪零なヘッセンバーグ多様体が正規な代数多様体であるための必要十分条件を（やはりヘッセンバーグ関数の言葉で）具体的に決定した．正則冪零なヘッセンバーグ多様体の特別なケースとしてPeterson多様体があるが，Peterson多様体は（1次元の場合を除いて）正規でないことが知られている．実際，上で与えた必要十分条件は，与えられたヘッセンバーグ関数がPeterson多様体のヘッセンバーグ関数と同じ形の場所をもつかどうかを判定している．
これまで，補助事業期間を通じてヘッセンバーグ多様体の「幾何学的な側面」を中心に研究を進めてきた．主な成果として，ヘッセンバーグ多様体の族が成す可積分系の構成（Peter Crooks氏との共同研究），正則半単純なヘッセンバーグ多様体が弱Fano多様体になるための必要十分条件(藤田直樹氏，曽昊智氏との共同研究)，Peterson多様体の整数係数コホモロジー環（曽昊智氏との共同研究）の環構造やそのPeterson-Schubert calculus（堀口達也氏，鍬田英也氏，曽昊智氏との共同研究）などが挙げられる．これらの成果を今後の研究に繋げていきたい．
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