2019 Fiscal Year Research-status Report
三次元多様体のオープンブック分解からみた結び目の負値性
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18K13416
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| Research Institution | Fisheries Research and Education Agency |
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Principal Investigator |
田神 慶士 国立研究開発法人水産研究・教育機構, 水産大学校, 助教 (60778174)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 結び目 / オープンブック分解 / 接触構造 / フラットプラミングバスケット |
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| Outline of Annual Research Achievements |
三次元球面に埋め込まれた円周を結び目といい、埋め込まれた円周がいくつかあるときは絡み目という。任意の向きづけられたコンパクト３次元多様体は適切な絡み目をその多様体から除くことで、円周上の曲面束の構造を持つ。そのような曲面束において、あるファイバーを一つ固定しその境界にバンドを取り付けると新しい曲面が得られる。特に、各バンドがそれぞれ異なるファイバーの上に乗っているとき、できる曲面をフラットプラミングバスケットという。
Furihata-Hirasawa-Kobayashiによりどんな絡み目もある自明なオープンブック（ディスクオープンブック）のフラットプラミングバスケットの境界として実現できることが示されている。本研究では与えられた絡み目に対し、その絡み目を境界に持つフラットプラミングバスケットのバンドの数の最小値（フラットプラミングバスケット数）を中心に、絡み目をオープンブック分解の観点から調査することを目的としている。
当該年度は昨年度に引き続き、フラットプラミングバスケット数と絡み目の最大自己絡み数に関する不等式（sl-fpbk不等式）の完成を目指し、国際研究論文誌に投稿した。その際、Legendrian Realization Principle の適用方法に一部不備があったため、修正を行い再投稿した。この論文は現在投稿中である。
また、フラットプラミングバスケットの類似として、バンドをひねってから貼ることで別の曲面を考えることができる。特にひねりが一回の時は古くから３次元多様体の接触構造と関係があることが知られている。その場合についてのフラットプラミングバスケット数のアナロジーについても考え、古典的な不変量であるHopf不変量との関係を考察した。この結果については現在執筆中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初予定していた、フラットプラミングバスケット数と絡み目の最大自己絡み数に関する不等式（sl-fpbk不等式）が当該年度に受理されず、現在も審査中のため進捗状況としては遅れている。一方で、かねてより問題であった「強擬負性がsl-fpbk不等式の等号を誘導するか」という問いに対し、トーラス絡み目を含むあるクラスでは正しいことが証明できているため、進捗状況に対する評価は「やや遅れている」とする。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究の推進方策として、引き続きsl-fpbk不等式に関する論文の出版を目指す。また、「研究実績の概要」に記載したバンドがひねられている場合のフラットプラミングバスケットの類似について考えることで、違った観点から絡み目とオープンブック分解あるいは接触幾何学の関係を見ることができたため、この点についても調査を行う。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの感染拡大の影響により、３月開催予定であった研究集会が中止または延期になったため残高が生じた。いくつかの集会は次年度に延期となっているため、次年度使用額はその旅費に充てる。
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Research Products
(1 results)
