2020 Fiscal Year Research-status Report
三次元多様体のオープンブック分解からみた結び目の負値性
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18K13416
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| Research Institution | Fisheries Research and Education Agency |
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Principal Investigator |
田神 慶士 国立研究開発法人水産研究・教育機構, 水産大学校, 助教 (60778174)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 結び目 / ３次元多様体 / 接触構造 / オープンブック分解 / フラットプラミングバスケット |
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| Outline of Annual Research Achievements |
三次元の図形（多様体）に埋め込まれたいくつかの円周を絡み目という。特に円周が一つのとき結び目という。向きづけられたどのようなコンパクト３次元多様体も適切に絡み目をその多様体から除くことで、円周上の曲面束の構造（円周の各点の上に曲面が乗っているような構造）を持つ。その曲面束において、あるファイバーを一つ固定しその境界にバンドを取り付けると新しい曲面が得られる。特に、各バンドがそれぞれ異なるファイバーの上に乗っているとき、できる曲面をフラットプラミングバスケットという。
Furihata-Hirasawa-Kobayashiによりどんな絡み目もある自明なオープンブック（ディスクオープンブック）のフラットプラミングバスケットの境界として実現できることが示されている。本研究では与えられた絡み目に対し、その絡み目を境界に持つフラットプラミングバスケットのバンドの数の最小値（フラットプラミングバスケット数）を中心に、絡み目をオープンブック分解や三次元多様体の接触構造の観点から調査することを目的としている。
当該年度は昨年度投稿中であった、フラットプラミングバスケット数と絡み目の最大自己絡み数に関する論文の審査結果が出たため、リバイス作業を行った。数学的な誤りはなかったが、アーク表示を１６パターンに分類した際に図の描き間違いがあったため修正をした。この論文は現在出版されている。 また、フラットプラミングバスケットの類似として考えていた、``フラットプラミングバスケットの各バンドに１回ひねりを加えた曲面"のフラットプラミングバスケット数とHopf不変量との関係を記述した論文を執筆・投稿しアクセプトされた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本年度アクセプトされた論文は昨年度アクセプトされる予定であったが、新型コロナウイルス感染症の影響もあり審査が大幅に遅れた。一方で、Hopf不変量を用いたフラットプラミングバスケットのアナロジーに関する研究については予定通りアクセプトされた。
また、研究方針の変更を行ったため当初予定していた研究計画は遂行できていない。
以上の理由により、自己点検による評価を「やや遅れている」とする。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在まで、３次元接触多様体とオープンブック分解の観点から結び目の研究を行ってきた。特に、フラットプラミングバスケットに着目して結び目の負値性との関連を記述することを目標としていたが、自己絡み数とフラットプラミングバスケット数の関係を記述した不等式以外に有用な結果が得られなかった。
このことを考慮し、今後は３次元多様体だけでなく４次元多様体と結び目の関係にまで視野を広げて研究を行う。特に、結び目とそのゼロトレースと呼ばれる４次元多様体に着目する。ソリッドトーラス内の結び目を自然にレンズ空間に埋め込んだ際にある意味で「ほどける」状況を考えると、ゼロトレースが同相な異なる結び目が得られることがある。さらにその結び目たちが接触幾何学的にある条件を満たすとゼロトレースが微分同相にならないという現象が確認されている。そこで、そのようなソリッドトーラス内の結び目の研究を行い、これまでに行ってきた３次元接触多様体やフラットプラミングバスケットとの研究がゼロトレースの微分構造の研究に応用できないか考察する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響により、学会参加のための旅費を使用しなかったため
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Research Products
(4 results)
