2021 Fiscal Year Research-status Report
三次元多様体のオープンブック分解からみた結び目の負値性
| Project/Area Number |
18K13416
|
|---|
| Research Institution | Fisheries Research and Education Agency |
|---|
Principal Investigator |
田神 慶士 国立研究開発法人水産研究・教育機構, 水産大学校, 助教 (60778174)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 結び目 / フラットプラミングバスケット / ホップ不変量 / ゼロトレース |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
三次元の図形（多様体）に埋め込まれたいくつかの円周を絡み目という。特に円周が一つのとき結び目という。向きづけられたどのようなコンパクト３次元多様体も適切に絡み目をその多様体から除くことで、円周上の曲面束の構造（円周の各点の上に曲面が乗っているような構造）を持つ。その曲面束において、あるファイバーを一つ固定しその境界にバンドを取り付けると新しい曲面が得られる。特に、各バンドがそれぞれ異なるファイバーの上に乗っているとき、できる曲面をフラットプラミングバスケットという。
本研究では与えられた絡み目に対し、その絡み目を境界に持つフラットプラミングバスケットのバンドの数の最小値（フラットプラミングバスケット数）を中心に、絡み目をオープンブック分解や三次元多様体の接触構造の観点から調査することを目的としている。
当該年度は昨年度アクセプトされた、フラットプラミングバスケットの各バンドに１回ひねりを加えた曲面のフラットプラミングバスケット数の類似とHopf不変量との関係を記述した論文が出版された。また、研究対象を３次元多様体だけでなく４次元多様体と結び目の関係にまで拡張し研究を行った結果、結び目のゼロトレースに関して一定の成果が得られた。特に微分同相なゼロトレースを持つ結び目の組を構成するある２つの手法について先行研究を整理し、その関係性をより詳しく記述した。その研究成果は論文としてすでに公開されている。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
当初の計画ではフラットプラミングバスケットを中心に接触構造の観点から結び目を調べることを目的としていたが、現在までに自己絡み数とフラットプラミングバスケットのバンドの数の関係を記述した不等式以外にめぼしい結果が得られていない。研究の対象を４次元多様体まで広げた結果、いくつかの結果は得られているが当初の目標とは異なった成果であるため自己点検による評価は「遅れている」とする。
|
| Strategy for Future Research Activity |
新型コロナウイルス感染症の影響により、本研究課題は１年間の延長を予定している。また研究概要にも記載したゼロトレースに関連した研究について、２０２２年度に新規研究課題が採択されている。それを踏まえて３次元幾何学的アプローチについては本研究課題で実施し、４次元幾何学的アプローチを新規研究課題で行う。
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響により２０２０年度および２０２１年度に出張ができなかったため出張旅費のための予算を繰り越してきた。そのため、次年度使用額が生じた。
|
