Study on the negativities of knots via open book decompositions of 3-manifolds

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 18K13416
• Research Institution: Hiroshima Shudo University
• Principal Investigator: 田神 慶士 広島修道大学, 経済科学部, 准教授 (60778174)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 絡み目 / フラットプラミングバスケット / 接触構造

Outline of Annual Research Achievements

向きづけられたどのようなコンパクト３次元多様体も適切に絡み目をその多様体から除くことで、円周上の曲面束の構造を持つ。その曲面束において、あるファイバーを一つ固定しその境界にバンドを取り付けると新しい曲面が得られる。特に、各バンドがそれぞれ異なるファイバーの上に乗っているとき、得られる曲面をフラットプラミングバスケットという。
本研究では与えられた絡み目に対し、その絡み目を境界に持つフラットプラミングバスケットのバンドの数の最小値（フラットプラミングバスケット数）を中心に研究を行った。研究期間全体を通じて得られた結果として、以下の２つが挙げられる。
１つは、フラットプラミングバスケット数と最大自己絡み数との間にとある不等式が成り立つことを示したことである。さらにこの不等式は負絡み目について等号成立することが期待されていたが、本研究により負ブレイドの閉包として実現できる絡み目については等号成立することが示された。他にも、ツイスト結び目について等号成立することが確認されている。しかしながら、９交点までの結び目に限定したとしてもこの不等式と既存の結果だけではフラットプラミングバスケット数が決定できない例が存在している。
２つ目の結果として、フラットプラミングバスケットの定義において取り付けるバンドに一回ひねりを許し、同種の指数について評価を与えた。オリジナルのフラットプラミングバスケットは三次元球面のタイトな接触構造に主眼を置いているが、バンドにひねりを許した場合、三次元多様体のすべての接触構造を考えることになる。特に、Hopf不変量を用いて、Baader-Misevが与えたファイバー曲面の「安定化高」という指数を評価する不等式を与えた。さらにその非有界性に対する別証明を与えている。
最終年度はこれらの結果の改善を目指したが、残念ながらこれ以上の結果が得られなかった。