2019 Fiscal Year Research-status Report
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18K13420
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
梶ヶ谷 徹 東京電機大学, 工学部, 助教 (20749361)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非コンパクト型エルミート対称空間 / 同変埋め込み / 全測地的部分多様体 / 離散調和写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 非コンパクト型エルミート対称空間の同変実現に関する研究: 非コンパクト型エルミート対称空間は、多様体としては、偶数次元のユークリッド空間と微分同相であり、 複素多様体としては、複素ユークリッド空間内の有界領域として実現できる。 さらに、シンプレクティック多様体としては、標準的シンプレクティックベクトル空間とシンプレクティック微分同相になること(すなわち、大域的ダルブーの定理が成立すること)も知られている。これまで、これらの実現は、リーマン幾何、複素幾何、シンプレクティック幾何それぞれの手法を用いて、解析的あるいは代数的にその存在が証明されていたが、本研究では、それらの実現が共通して持つ「同変性」という性質に着目し、対称空間の持つ「極性」の観点から、これらの実現を統一的かつ幾何学的に構成する方法について考察し、いくつかの基本的な結果を得た。 これにより、既存の実現の統一的かつ簡潔な描写を与えることができた。 また、この構成により得られる同変実現の性質が、ある特別な全測地的部分多様体のクラスに対して遺伝することを証明した。この性質は、シンプレクティック微分同相に対して示されていた事実であったが、より一般の同変的実現が同じ性質を持っていることを明らかにした。
(2) 離散調和写像に関する研究: 昨年度から行なっていた離散調和写像に関する研究を一つの成果としてまとめ、arXivにて公開した。また、ターゲットが正曲率を持つ場合についての安定性について新たに考察を加え、いくつかの適切な問題を設定することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
昨年度の研究において, 複素双曲空間から複素ユークリッド空間への同変なシンプレクティック微分同相の具体的な表示が, ラグランジュ部分多様体の安定性解析において非常に役立ったが, 今年度の研究により, この微分同相を一般の非コンパクト型エルミート対称空間に対して具体的に構成することができた. それ以上に, 同変的実現に関する一つの一般的な枠組みを作ったことで, 非コンパクト型エルミート対称空間に対する想定以上の理解が得られたことは大きな収穫であった. 一方で, 安定性解析等への応用に繋げられるかが今後の一つの課題である.
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| Strategy for Future Research Activity |
同変的実現は,非コンパクト型エルミート対称空間より広いクラス, 例えばある種の非コンパクト版複素旗多様体に対してその存在が知られている. 従って, 今年度に得た結果を広いクラスに拡張できるかを考察することは自然な課題である. また同様の問題をコンパクト型の場合に考察することも重要な問題であると考えている. このような考察の中で, これらの空間の幾何学的および代数的構造の理解を深め, もう一つの目的である部分多様体の安定性解析への応用を目指す.
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| Causes of Carryover |
コロナウイルスの影響により研究集会が中止・延期されたため、本来使用するはずの旅費が次年度繰越となった。繰り越した費用は延期された研究集会に参加するための旅費に使用する。
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