2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K13420
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
梶ヶ谷 徹 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 助教 (20749361)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ラグランジュself-shrinker / ハミルトンF-安定性 / Kahler C-space / コンパクトリーマン対称空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、対称性を持つ部分多様体の安定性に関する以下の問題について考察をした。
(1) ラグランジュself-shrinkerのハミルトンF-安定性: ユークリッド空間内の部分多様体の平均曲率流を考えると、一般には有限時間で特異点を生じるが、それが一般にどのような特異点であるかを解析することは極めて難しい問題として知られている。特異点の1つのモデルとしてself-shrinerと呼ばれる部分多様体のクラスがあるが、このうち平均曲率流の特異点としてgenericに現れうるものを分類することは重要なステップである。そのようなものは、「エントロピー安定性」あるいはそれよりも弱い「F-安定性」と呼ばれる性質を持つであろうことが示唆されており、これらの性質を持つself-shrinkerを特定することは意味のある問題であると考えられる。特に、ラグランジュ平均曲率流の場合には、ハミルトン変形の下での安定性を考察することが合理的であり、この問題は、体積汎関数の意味でのハミルトン安定性の解析に類似している。今年度は、いくつかの具体的な等質ラグランジュ部分多様体についてその安定性を調べ、計算により、ある程度の予測を得ることができた。
(2) 正曲率空間への離散調和写像の安定性：一昨年に行った研究から自然に派生する問題として、正の曲率を持つリーマン多様体への安定離散調和写像の存在問題がある。今年度は、古典的な正曲率等質空間(Kahler C-spaceおよびコンパクトリーマン対称空間)に対して安定離散調和の存在を調べ、いくつかの空間について非存在定理を示すことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の1つの目的であったラグランジュ部分多様体の体積汎関数に関するハミルトン安定性の解析が平均曲率流の文脈においても援用できることに気づいた点、滑らかな安定部分多様体の非存在定理に用いられる古典的な手法が重み付き有限グラフに対しても適用可能であることを確認できた点は、当初の想定以上に研究の幅が広がったと言う意味で、良い進展であった。一方で、技術的な困難さもあり、いずれも納得の行く形までまだ問題を解き切れていないので、次年度に確実にまとめげるつもりである。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究において見つかった課題を納得の行く形で解き切ることを目標とする。いずれの場合にも、ある程度の予想が立てられているので、等質部分多様体(対称空間やR-空間)の幾何およびその上での調和解析など、安定性解析に関わる技術的に困難な点を確実に理解し、考えている問題に適用して行く。
平均曲率流や離散的対象に対する変分問題などの関連する事柄について調査を行い、必要な知識を勉強して取り込んでいく。
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| Causes of Carryover |
昨年度から引き続き、新型コロナウイルス感染防止のため、ほとんどの研究会がオンラインで開催されるなどしたため、旅費で使用するために確保していたものが使用できなかったことが最も大きな理由である。
繰り越したものについては、本来の使用目的である旅費として優先的に使用していくが、状況によっては、必要な物品等の購入に充てるなど、効率的で意味のある使用方法を考えていく。
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