2018 Fiscal Year Research-status Report
Capacities on Levi-flat real hypersurfaces
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18K13422
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
足立 真訓 静岡大学, 理学部, 講師 (30708392)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | レビ平坦曲面 / 複素解析幾何 / 葉層構造論 / 多変数関数論 / ポテンシャル論 / ソボレフ空間 / 国際情報交換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の対象は、Levi平坦面の囲む複素領域である。Levi平坦面は多変数複素関数論・正則葉層の力学系理論の双方と関わる研究対象であり、一般化されたLevi問題、Cerveau予想という重要な未解決問題が残されている。これらの問題の解決を図るため、Levi平坦面に対して有効な容量概念を見出し、この種の複素領域上の正則関数の構造を増大度付きで明らかにすることが本研究の目標である。
平成30年度は、主として、Levi平坦面の囲むStein領域の典型例である閉Riemann面上の正則円板束について、その構造の解析を行い部分的な成果を得た。前年度までの科研費若手研究(B)26800057においては、特別なホロノミーを持つ場合に正則円板束上の正則関数環の明示的な基底を得て、正則関数の増大度評価に成功した。同様の構成を一般のホロノミーの場合に試み、正則関数環のある種の表示を得た。しかし、増大度評価は解決できていない。また、特別なホロノミーを持つ場合に多重Green関数の明示的な表示を得た。しかし、一般のホロノミーの場合への示唆は得られていない。
他方で、この事例研究の副産物として、Levi平坦面上のCR線束の接Cauchy-Riemann作用素の横断Sobolev評価について基礎的な成果が得られた。大沢-Sibony (2000) はCR線束の曲率が十分に正であれば有限階のSobolev評価が得られることを指摘したが、その階数の定量的な評価は与えていなかった。今回、D'Angelo 1形式を用いる形で、次数の定量的な評価を得ることに成功した。この成果は技術的なものだが、Levi平坦面の解析のみならず、一般の弱擬凸領域に対するディーバーNeumann問題でのD'Angelo 1形式のさらなる役割を示唆しており、基礎的な意味があると考えている。本研究成果は、学術雑誌への投稿を準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
閉Riemann面上の正則円板束に関する知見は着実に蓄積できているが、当初計画よりも進行が遅れており、具体的な研究目標である一般のホロノミーを持つ正則円板束上の正則関数の増大度の解析に至る目処は立っていない。また、本研究計画の母体となっている科研費若手研究(B)26800057の研究成果のうち、論文にまとめきれていない点が残っていることも遅れと判断した理由の1つである。一方で、本年度行った事例研究の副産物として、接Cauchy-Riemann作用素に対するD'Angelo 1形式の役割について一般論としての理解が前進した点は評価できる成果であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
当初研究計画の遅れを取り戻すことを目指し、引き続き、閉Riemann面上の正則円板束を事例に取り、その上の正則関数の詳細な構造の解析を試みる。
一方で、平成30年度に接Cauchy-Riemann作用素に対するD'Angelo 1形式の役割に関して基礎的な成果が得られたこと、また、平成31年3月に本研究計画の一部として国際研究集会「Workshop on Holomorphic Maps, Pluripotentials and Complex Geometry」を開催した際、Diederich-Fornaess指数とD'Angelo 1形式に関する最新の知見の研究連絡があったこと、これらの点を踏まえ、一般の弱擬凸領域における研究にも着手したい。
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| Causes of Carryover |
平成31年3月に国際研究集会「Workshop on Holomorphic Maps, Pluripotentials and Complex Geometry」を開催し、国内外から関連する研究者を招聘し、多重ポテンシャル論を中心とした最新の情報収集および研究代表者の研究成果の検討を行った。その招聘旅費として使用した金額が、当初見積額より少なかったため残余が生じた。令和元年度以降の招聘旅費に有効活用する。
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