2019 Fiscal Year Research-status Report
Capacities on Levi-flat real hypersurfaces
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18K13422
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
足立 真訓 静岡大学, 理学部, 講師 (30708392)
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2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | レビ平坦曲面 / 複素解析幾何 / 葉層構造論 / 多変数関数論 / ポテンシャル論 / CR幾何学 / 国際情報交換 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
我々は、2018年度までの研究において、Levi平坦面上のCR線束の接Cauchy-Riemann作用素の横断Sobolev評価について、評価が可能なSobolev空間の階数の定量的な評価を得ていた。その際、D'Angelo 1形式が評価の鍵であった。2019年度は、この結果を発展させ、よりシャープな評価を得ること、一般の弱擬凸領域におけるディーバーNeumann問題のSobolev評価の文脈に位置付けることの2点を目指して研究を行なった。一方で、本研究計画の着想の元となっている弱擬凸領域のポテンシャル論的な量であるDiederich-Fornaess指数について、2019年3月に韓国・釜山大学校のJihun Yum氏より、複素ユークリッド空間内の弱擬凸領域のDiederich-Fornaess指数を、その境界のD'Angelo 1形式で評価する公式を得た、との研究連絡があった。これは足立が2015年の出版論文でLevi平坦面の囲む領域に対して得ていた結果と類似するものであった。そこで、これらの研究の経過を踏まえ、D'Angelo 1形式の定式化を整理する研究に注力し、抽象的な弱擬凸CR多様体（部分可積分でもよい）に対して、D'Angelo 1形式に付随する不変量の定式化を行ない、一般の複素多様体において、ある正値性条件の下で、弱擬凸領域のDiederich-Fornaess指数を境界のD'Angelo 1形式で評価する公式を得た。これは足立の2015年の結果、Yum氏の2019年の結果を統合し、一般化するものである。本研究成果は、Yum氏との共著論文として、学術雑誌へ投稿するとともに、プレプリントサーバにおいて公開中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
D'Angelo 1形式の定式化について精査を行った結果、本研究の要であるDiederich-Fornaess指数という、弱擬凸領域のポテンシャル論的な量について、2015年出版の自身の結果を大幅に一般化することができた。年度内に論文の取りまとめまで完了でき、順調な進展だと自己評価している。一方で、当初の研究計画で予定していた、非標準的なホロノミーを持つ閉Riemann面上の正則円板束上の正則関数の増大度解析については進展が得られなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度に得られたD'Angelo 1形式に付随する不変量の定式化を踏まえ、一般の弱擬凸CR多様体に対して、接Cauchy-Riemann作用素の横断Sobolev評価を検討するとともに、Levi平坦面においてシャープな評価を得ることを目指す。閉Riemann面上の正則円板束上の正則関数の増大度解析は、研究が難航しており、近年発展の著しいBergman空間の変動理論の応用を探るとともに、双曲型井上曲面内のLevi平坦境界の領域上の正則関数の増大度解析にも着手し、糸口を探る。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響により、2020年3月に予定していた出張が取りやめとなったため。遠隔セミナー開催のための物品購入や、新型コロナウイルス感染症が終息した後の旅費として活用する。
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