| Outline of Annual Research Achievements |
令和４年度は, WKB解のリサージェンス性の証明に専念した. 昨年度の成果から, WKB解の対数微分に対応する, Riccati 方程式の解の arborescent mould 展開の各項のリサージェンス性については既に結果が得られており, この展開の収束性のみが問題という状況であった. しかし, 試行錯誤を繰り返したものの, この収束性の証明が困難であったため, 今年度は方針を転換し, WKB解の Stokes 現象から Borel 平面上の特定点の構造を復元するという方向性で考察を進めた. これにより, 議論の見通しが良くなり, ポテンシャルが多項式で, 単純変わり点のみを持つ場合には, この問題解決の糸口が掴めたように思われる.
研究期間全体を通しては, Connes-Kreimer Hopf 代数の構造を用いた arborescent mould 展開の手法を用いて, 非共鳴条件を満たす非線形常微分方程式の特異点における transseries 解のリサージェンス性に関する結果が得られた. 更に, これらの alien 微分など, リサージェンス構造に関する明示的な表示式も得られた. この問題は古典的ではあるが, 今まで未解明の状態であったが, これに対する明確な解答が得られたという点で, 今後のリサージェンス理論の発展において重要な結果になると思われる. また, 特異摂動型の Riccati 方程式の形式解についても, arborescent mould 展開を用いた解析を行った. これについては, 上述したように, 展開の各項のリサージェンス性についての結果は得られたが, この展開の収束性が示せず, 完全な解決には至らなかったため, 今後の課題として残った.
|
