2018 Fiscal Year Research-status Report
Values of Hypergeometric Series
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18K13428
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| Research Institution | Chiba Institute of Technology |
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Principal Investigator |
蛭子 彰仁 千葉工業大学, 情報科学部, 助教 (70772672)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 超幾何級数 / 隣接関係式 / 超幾何関数の変換公式 / 差分方程式の不変量 / 特殊値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
超幾何関数は多くの良い性質を持つが故に、様々な分野に現れ、ある種の周期・物理量・統計量を始めとした多くの量が超幾何関数の値として表されることが知られている。もし、これらの値が良く知られた定数や三角関数・ガンマ関数等の初等的な関数を用いて表されたのなら申し分無いのだが、大抵の場合そうはならない。そこで、何らかの意味で値を理解することが必要になってくる。そのための１つの方法として、与えられた超幾何関数を、別の分かり易い超幾何関数によって表すこと(変換公式)が考えられる。もし変換公式が見つかったのであれば、元々の知りたい値が分かり易い値によって表されることになるし、そのことから値の数値計算も楽に行えるようになるのである。このような理由から、変換公式の研究は古くから行なわれてきたのだが、それらを統一的に扱う手法は考えられていなかった。
そこで、本研究において、超幾何関数が線型差分方程式(隣接関係式と呼ばれている)を満たすことに着目し、差分方程式の不変量という概念を導入することで、変換公式を統一的に論じる１つの手法を開発した。この手法により、既知のものだけでなく、今まで知られていなかったものまで多くの変換公式を導出できるようになったのである。このようにどちらかと言えば、この手法は変換公式を導出することに向いているのだが、本来の目的である超幾何関数の値の研究にも応用可能な程適用範囲は広い。例えば、与えられた超幾何関数が指定した超幾何関数を用いて表すことが出来るかどうか、探索することが出来る(但し、全ての変換公式が今回の手法によって導けるかどうかは現在のところ未解明)。こうして、1つの面に過ぎないが、超幾何関数の値の研究は一歩前進したと考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究の目的は、超幾何関数の値の理解にある。今回の結果、及び、今回用いた手法により超幾何関数の値の理解は一歩前進したのであるが、この研究に専念したあまり、本研究の遂行にあたりあらかじめ考えていた手法を試すことが出来なかった。例えば、超幾何関数を連分数で表すことで値を理解すること、有限和の超幾何関数の数値計算アルゴリズム開発などである。また、もともとの計画では研究と並行して、論文執筆も行うことにしていたが、この作業も進んでいない。以上のことを差し引くことで「研究はやや遅れている」と判断するのが妥当である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今回与えた手法により、多くの変換公式の導出が可能になっただけでなく、与えられた超幾何関数が変換公式を持つかどうかの探索も行えるようになった。しかし、先述の通り、この手法によって全ての変換公式が導けるかどうかは現在のところ未解明である。これが解明されると更に超幾何関数の値の研究が進むことになるが、問題の解決には困難が伴う。その主因は隣接関係式の不理解にある。超幾何関数に隣接関係式が成り立つことは古くから知られていたが、その基本的な性質の研究はこれまでされてこなかった。北海道大学の岩崎克則教授との共同研究において、超幾何関数3F2(1)の隣接関係式に関する基礎研究を行ったが、他の超幾何関数については手付かずの状況にあり、それが研究遂行の上で障壁となっている。そこで、この基礎研究を進めることを第一の目標とする。さらに並行して、これまでの研究成果を論文として纏めることも、遂行しなければならない課題である。
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