2021 Fiscal Year Research-status Report

Values of Hypergeometric Series

Research Project

Project/Area Number	18K13428
Research Institution	Chiba Institute of Technology
Principal Investigator	蛭子彰仁千葉工業大学, 情報科学部, 准教授 (70772672)
Project Period (FY)	2018-04-01 – 2023-03-31
Keywords	超幾何関数 / 超幾何微分方程式 / 隣接関係式
Outline of Annual Research Achievements	本研究では、超幾何関数の値の構造の解明、及びその成果の応用を目標としている。本年度は、特に後者について、以下の(1)、(2)を行った。 (1) 一般化超幾何微分方程式3E2(x)は特異点x=0,1,∞を持つFuchs型微分方程式である。このx=0, ∞における局所解は、一般化超幾何関数3F2(x)を用いて表されることが容易にわかる。一方、x=1における局所解、特にx=1における正則解の級数表示を得ることは難しい。実際、先行研究で得られた表示は、級数の一般項が超幾何関数の特殊値3F2(1)を用いて表されるものであった。これは超越的表示であり、知りたいものをよく分からない値を使って表している面がある。そこで、本研究で、x=1における正則級数解の成す空間の基底を上手く取り、それら基底の一般項が有理的となるものを構成した。この構成には、超幾何関数の値の構造に関するこれまでの知見が用いられる。以上の結果を、RIMS共同研究「可積分系数理の諸相」で講演し、RIMS講究録別冊に投稿中である。 (2) 原岡喜重・落合啓之・佐々木武・吉田正章と以下の研究を行った。特異点x=0,1,∞を持つnon-rigidな6階Fuchs型微分方程式を考える。そのようなもののうち、ある種の対称性・特性指数を持つものが、一種に限られることが分かった。この方程式は9つのパラメータを持ち、また昇降関係も待つことから、大きなクラスでありながら良い性質を備えていることが予想される。実際、その方程式を特殊化したり、操作を加えることで、既知の有名な方程式(一般化超幾何微分方程式、Dotsenko-Fateev方程式等)が導かれることが分かった。これらの結果は纏められ、現在論文を投稿中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 上記(1)、(2)の結果を得るために、これまでの研究成果(差分方程式の不変量、超幾何微分方程式の昇降関係、超幾何関数の隣接関係式、二次関係式)が生かされた。このことは当初想定していなかったことであり、計画以上に進んだ面である。しかし、他にも多くの推進したい研究があったにも関わらず、それらをこなすことは出来なかった。このことから、全体的には「やや遅れている」と評価する。
Strategy for Future Research Activity	上記(1)に関し、n階の一般化超幾何微分方程式もまた、x=1における正則解の級数表示を得ることは難しく、先行研究でも、超越的で複雑な表示しか得られていない。そこで、上記(1)の結果を一般化することで、有理的でしかも単純な表示を導出することを予定している。これらの結果を論文にまとめたい。上記(2)に関しては、引き続き共同研究が進んでいる。課題として、超幾何関数の和を解に持つ、2階、あるいは3階の線型差分方程式についての構成がある。その構成法の目処は付いたので、それらを論文にまとめたい。また、超幾何関数の変換公式の構成法について、ここ数年基礎研究を続けている。特に、それらを具体的に構成するための方法は既に開発している。そこで、この構成法をAppellの超幾何関数F1に対して適用することで、変換公式を沢山導出したい。この超幾何関数の変換公式に関する先行研究は少ない。従って、この研究を行う価値はあると判断しており、計画を実行するための計算機の部品を揃えた。今後、計画を実行に移す予定である。
Causes of Carryover	昨今の情勢により研究集会が現地開催されることが少なくなり、旅費の計上が減ったため次年度使用額が生じた。次年度は、研究代表者が幹事を務める研究集会が現地開催される予定である。自身の研究を深めるため、研究者同士の交流を深めるため、この集会では研究者を幾人か招聘するつもりであり、そのための費用として使用予定である。