2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K13430
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
横山 聡 早稲田大学, 理工学術院, 客員次席研究員(研究院客員講師) (70643774)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 確率論 / 偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
水と油、水と氷などのように、性質が異なる物質間に現れる境界（界面）の時間経過に伴う挙動を、ランダムな要素である確率項（ノイズ）を付加して追跡する。ノイズの効果がない界面の挙動は偏微分方程式で記述されるが、物理的にできるだけ自然なノイズを付加したモデルを考える場合、対応する確率偏微分方程式を解析することが必要となる。以下に本年度の実績からいくつか述べる。
物理的に自然と思われる時間空間の両パラメーターに依存するノイズを付加したランダムな界面の方程式を考えた場合、その解の構成は容易ではないと考えられている。ノイズが時間のみに依存する場合は適切な仮定の下で局所解が一意に構成できる。ある仮定を課した特別な形の時空の乗法的ノイズに依存して動くような界面のモデルでは、準線形放物型の確率偏微分方程式の解析を必要とし、その局所解が適当な関数空間上に存在する事がわかった。また、保存系であるCahn-Hilliard 方程式の特異極限操作から形式的に得られるHele-Shaw方程式の確率版として、時空の変数に依存する確率過程であるQブラウン運動の影響を付加した確率Hele-Shaw方程式の局所解の構成ができることがわかった。その他、ノイズを付加した体積保存型のAllen-Cahn方程式について、体積保存型の加法的ノイズである場合に不変測度の存在を示すことができた。研究成果発表および共同研究作業として出張も行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ノイズに依存する平均曲率方程式の時間発展の研究についておおむね順調に進捗している。
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| Strategy for Future Research Activity |
微小係数を持つ反応拡散方程式であるAllen-Cahn方程式における極限操作で得られる界面の挙動は、反応項が満たす条件によって進行波、または平均曲率流のように異なる状況が現れる。体積保存型のAllen-Cahn方程式の反応項の条件と導かれる界面との関係の解析を目指す。また、界面の鉛直方向に依存するような確率項を考慮した体積保存型の界面方程式の解の解析を目指す。この実現に向け詳細な情報収集と議論を行うために共同研究も視野に入れ出張を計画する。
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