2020 Fiscal Year Research-status Report
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18K13430
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
横山 聡 早稲田大学, 理工学術院, 客員次席研究員(研究院客員講師) (70643774)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 確率論 / 確率偏微分方程式 / 平均曲率方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は反応拡散方程式として知られるアレンカーン方程式の低温状態、すなわち温度を表す微小パラメータの逆数を反応項の係数に持ち、かつ、反応項が双安定であるような方程式に、輸送型ノイズを付加した確率アレンカーン方程式の解の調査を行った。
2019年の我々の結果では、微小パラメーターを持つ体積保存型のアレンカーン方程式の確率版として、加法的ノイズを付加した方程式を扱ったが、これを輸送項、および可算無限個のベクトル場とノイズから定まる乗法的ノイズに一般化しその調査を試みた。
ノイズ項のベクトル場が特別な条件を満たす場合、そのような微小パラメータ付きの輸送型確率アレンカーン方程式の解に対する極限操作により、２相を分ける界面が満たすランダムな方程式、すなわち、ノイズの効果を持つ確率平均曲率方程式の解に収束することが分かった。本研究は Franco Flandoli教授との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Franco Flandoli教授は流体数学におけるナビエストークス方程式に確率項を加えた確率偏微分方程式の分野で多くの研究結果があり、輸送項が乗じられたノイズを持つ確率項である輸送型ノイズで駆動されるモデルも最近多く研究されている。今回同氏との共同研究では体積保存型であるアレンカーン方程式に、輸送型ノイズを加えた確率アレンカーン方程式を研究対象とした。特別な条件を満たす輸送型ノイズである場合、極限操作により界面が満たす確率平均曲率方程式が得られることがわかり、漸近展開と確率解析を駆使して証明を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は体積保存型である確率アレンカーン方程式において、昨年得られた結果から輸送型ノイズのさらなる一般化を調査する。また、反応項が双安定とは限らず、進行波が発生する場合の体積保存型の確率アレンカーン方程式の精密化を試みる。現象をより視覚的に正確にとらえる目的としてソフトウェア、端末ハード機器の整備も行う。
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| Causes of Carryover |
予定された海外研究出張は延期。
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