相を分ける界面モデルに対する確率解析とその発展

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 18K13430
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 横山 聡 早稲田大学, 理工学術院, 客員次席研究員(研究院客員講師) (70643774)
• Project Period (FY): 2018-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 確率論 / 確率偏微分方程式 / 平均曲率方程式

Outline of Annual Research Achievements

反応拡散方程式として知られるアレンカーン方程式の低温状態、すなわち温度を表す微小パラメータの逆数を反応項の係数に持ち、反応項が双安定であるような方程式に輸送型の確率項を持つノイズを付加した確率アレンカーン方程式の解の調査を引き続き実施した。これはFlandoli教授との共同研究で行っている。これまでに得られた我々の結果では、微小パラメーターを持つ体積保存型のアレンカーン方程式の確率版として、加法的ノイズを付加した方程式を扱っている。これを輸送項、および可算無限個のベクトル場とノイズから定まる乗法的ノイズに対して問題の一般化を試みている。ノイズ項のベクトル場が特別な条件を満たす場合、微小パラメータ付きの輸送型確率アレンカーン方程式の解は、微小パラメータを０に近づけることによる極限操作で２相を分ける界面が満たすランダムな方程式であるノイズの影響を受ける確率平均曲率方程式の解が現れることが分かった。極限操作において上記の事実を示すには技術的困難があり現状ではベクトル場に強い制限をかける必要があることが分かった。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

輸送項が乗じられた確率項で駆動されるモデルで、特にFlandoli教授氏との共同研究として体積保存型の微小のパラメーター付きアレンカーン方程式に輸送型の確率項を加えた確率アレンカーン方程式と、その特異極限で得られる方程式について研究を引き続き進めている。極限操作による界面が満たす確率項付き平均曲率方程式への収束については漸近展開と確率解析の手法を用いる。この事実を示すには技術的困難があり現状ではベクトル場に強い制限をかける必要があることが分かっている。上記作業の整備は進行中である。

Strategy for Future Research Activity

体積保存型である確率アレンカーン方程式と極限操作の調査を継続する。輸送型ノイズの一般化の可能性についても調査を試みる。現象の理解を助けるためにソフトウェア、端末ハード機器の整備を引き続き行う。

Causes of Carryover

問題解決に向けての議論のために出張を予定していたが取りやめとなった。次年度に環境が整い次第行う。