2018 Fiscal Year Research-status Report
Exact WKB analysis of hypergeometric differential equstions
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18K13433
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| Research Institution | Kwansei Gakuin University |
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Principal Investigator |
西本 美香 (反田美香) 関西学院大学, 理工学部, 助手 (00768012)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 完全WKB解析 / 超幾何関数 / Voros係数 / Borel総和法 / Bessel関数 / Parametric Stokes現象 / Stokes幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では大きなパラメータを持つ超幾何微分方程式の解の大域的性質の解析を完全WKB解析の立場から行った.特に，2018年度は大きなパラメータを持つGaussの超幾何微分方程式およびBesselの微分方程式について以下を行った．
（１）Gaussの超幾何微分方程式の解である超幾何関数と完全WKB解析の形式解であるWKB解のBorel和の関係を求めた.
上記の関係を得る事により超幾何関数のパラメータを無限遠方に飛ばした時の漸近挙動を完全WKB解析の立場から求めた．超幾何関数のパラメータに関する漸近解析の先行結果では，あるパラメータ領域での漸近挙動を求めることが困難な場合がある．しかし，完全WKB解析の立場から超幾何関数のパラメータに関する漸近挙動を求める方法を用いれば，先行結果では困難であったあるパラメータ領域での漸近挙動は他のパラメータ領域の場合と同様に計算することで求まることが分かった．漸近解析の研究者はもちろん物理学の研究者にも上記の結果に興味を持ってもらった．そのため物理学でよく出てくるパラメータの取り方が特殊な場合の超幾何関数におけるパラメータに関する漸近挙動を完全WKB解析の立場から求めることも試みた．特殊な場合は数種類あるため，一部の場合のみ超幾何関数とWKB解のBorel和の関係を求め，超幾何関数のパラメータに関する漸近挙動を求めた．
（２）Bessel関数と劣勢のWKB解（優勢，劣勢が存在する．）のBorel和の関係を求めた．
（１）の結果を基とし，上記の関係を得た．この結果からBessel関数のパラメータに関する漸近挙動を得るのはもちろんBessel関数の特殊な展開公式も完全WKB解析の立場から得ることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初，2018年度の研究目標は以下の2つであった．
（１）大きなパラメータを持つGaussの超幾何微分方程式の解である超幾何関数とWKB解のBorel和の関係を明らかにする．
（２）大きなパラメータを持つ3階の一般超幾何微分方程式のStokes幾何を具体的に描く．
（１）については2つの解の関係は得られている．論文は現在作成中であり，近日中に投稿予定である．（２）については他の研究者がStokes幾何を具体的に描いていたため、研究を実施しなかった．そのため、予定を変更し，（１）の関係を基とし，物理学でよく使われる特殊なパラメータの取り方の超幾何関数とWKB解のBorel和の関係およびBessel関数とWKB解のBorel和の関係を求めることに成功した．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初は大きなパラメータを持つ3階の微分方程式における完全WKB解析の解の大域的性質を求めることを予定していたが，2階の微分方程式である大きなパラメータを持つGaussの超幾何微分方程式についてパラメータが特殊な場合が未だ研究されていないためこちらを優先して研究を行う予定である．特に以下の研究を行う予定である．
（１）Stokes幾何のパラメータに関する分類について証明する．
（２）特殊な場合のStokes曲線をまたぐときのStokes現象を計算する．
（３）超幾何関数とWKB解のBorel和の関係を求める．
（１）は自身のこれまでの結果を基とすれば証明できると予想している．（２）は基となる先行結果が２つあり、その２つを合わせて考えれば特殊な場合も求まると期待している．（３）の証明ではStokes現象を利用するため，（２）を用いるべき場合,すなわち，2018年度では得ていない場合について関係を求める予定である．
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