2018 Fiscal Year Research-status Report
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18K13435
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
佐藤 龍一 東北大学, 理学研究科, 学術研究員 (20802599)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 非線形拡散方程式 / 多孔質媒質 / 非線形境界条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は研究計画に則り，非線形拡散方程式と非線形境界条件を含む放物型偏微分方程式の問題について研究を行なった．
準線型方程式では，主要部の特異性または退化性から問題の解析が難しくなるため，線型拡散である半線型方程式の研究ほど研究が進展していない．最も基本的な研究である，解の存在について考えるために，方程式の持つ尺度不変性などから類推される初期データの，局所的な特異性および，初期データの空間遠方での増大度について特定することを試みた．そのために，線型拡散方程式の場合にうまく機能することがわかっていた，一様局所ルベーグ空間を用いて問題の解析に取り組んだ．解析の対象としたのは，典型的な非線形拡散方程式である，多孔質媒質型方程式に低階のべき乗型非線形項を持つ方程式である．この方程式の持つ方程式不変となる尺度変換から類推される臨界な初期データの特異性は同定されているが，臨界の場合に解が存在することは先行研究においては得られていなかった．本研究では，この点について既存の先見的評価の改良を与えるとともに解の存在の証明を与えることに成功した．さらに，一様局所ルベーグ空間の特性を利用することで，既存の結果では証明することが難しかった，臨界特異性を持つ空間のノルムの爆発に関する結果を簡略に得ることに成功した．また，既存の結果では後方自己相似変換等を用いた高度な解析手法が用いられていた．
本年度中に得られた成果は学術論文としてまとめて学術誌に投稿し，本年度の研究成果の公開に努めた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画では，非線形拡散を持つ放物型偏微分方程式の，拡散の非線形性と境界条件の非線形性を調べることが主眼であった．そのための第一歩として多孔質媒質方程式に非線形境界条件を課した問題を考察した．しかし，この問題は取り扱いが非常に難しく，期待される結果を得ることは全く容易では無かった．そのため，一度境界条件の非線形性を外し，非線形拡散と方程式に低階の非線形性を加えた問題を考察することにした．
この問題を考察することで，多孔質媒質型の非線形拡散がもたらす非線形性の存在を認識し，かつその非線形性の対処方法を構築するに至った．この成果は当初の計画では期待していなかった事柄であるため，この時点で期待以上の成果であるとも考えられる．また，実際にこの成果が本質的に，元々考察の対象であった臨界の場合を扱うことができるようになる鍵であった．
考察した問題の解の存在，解の存在時間の評価等を得たことは当初の期待通りであったが，さらなる成果として，尺度臨界な空間のノルムの爆発に関する成果を得たことは期待以上のものであった．実際，先に挙げた非線形拡散に由来する非線形性の処理が確立されていなかった先行研究では一切得られていない内容であり，また通常解の爆発問題を考察すること自体ができていなかった場合にも通用する成果となっており，これは計画以上に進展したと言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要及び現在までの進捗状況を鑑みると，当初の計画からは少し方向が違っているが期待以上の成果が得られているため，今後の研究の推進方策としては大きく分けて二つの方向性が考えられる．
一つは，当初の計画に戻り，非線形拡散と非線形境界条件の関係を調べることに立ち返るものである．もう一つは，多孔質媒質型の非線形拡散について期待以上の成果を得たことから，その方向の研究をさらに進めるものである．
基本的には両方の方向で研究に着手し，それぞれの研究の困難点を洗い出し，その点の解決に努めることを基本の方針とする．
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