2021 Fiscal Year Research-status Report
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18K13435
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
佐藤 龍一 福岡大学, 理学部, 助教 (20802599)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形境界条件 / 放物型方程式 / 解の爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は完全非線形放物型方程式系の初期値問題に対する時間大域正値解の存在および非存在に関する臨界指数について研究を進め，一定の進展を得た. この方程式は完全非線形であるため, 発散型の主要部を持つ方程式に対して有効に働く種々の理論が働かない. したがってこの手の問題に対しては粘性解を用いたアプローチが考えられる. ある積分方程式の解が元の微分方程式の粘性劣解, 粘性優解となることを用い, さらに粘性解が古典解になるという事実を用いて元の完全非線形放物型方程式系の時間局所解の存在を示した.
さらに, 線形拡散の時によく知られた優解の構成方法と主要部によって定まる解の減衰を巧く用いることで比較原理とPerronの方法によって時間大域解の存在を示すことに成功した. 一方有限時間で爆発する劣解の構成方法を用いて, 正値時間大域解の存在・非存在を分ける臨界指数の存在を示した. ここまでの成果は学術論文としてまとめ投稿中である．
次に有界領域における完全非線形放物型(単独)方程式の初期値境界値問題に対する爆発問題の取り扱いについての考察も開始した．有界領域において解の爆発を示す手法の多くは超関数の意味での弱解や熱半群を用いて書き直される積分方程式によって得られるものである. しかし完全非線形方程式に対してはほぼ全てがうまく働かない．また，境界条件によって解の構造が大きく変わることは線形拡散の場合でよく知られているが完全非線形では境界条件の設定方法自体も問題となる．本研究ではDirichlet条件の場合に一定の進展を得たが，引き続きNeumann条件について研究を進める予定である．これは本研究課題の主題である非線形境界条件と深く関わるものであると想定される．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の主題である非線形境界条件についての直接的な成果は論文などの形で得られていないが，深く関連する研究対象についての研究が大きく進展したため，全体として見れば順調な進捗状況であると判断できる．
引き続き本課題を進めていくと当初の想定以上の研究成果に到達できると見込んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は主に有界領域における完全非線形放物型(単独)方程式の初期値境界値問題に対する爆発問題の取り扱いについて考察する予定である. 有界領域において解の爆発を示す手法の多くは超関数の意味での弱解や熱半群を用いて書き直される積分方程式によって得られるものである. 前者の場合, 方程式の主要部が発散型であれば有効であるため非常に多くの方程式が適用可能な手法であり, 例えば固有関数を用いて常微分不等式を解く方法はKaplanの方法として広く知られる.
また, エネルギーを用いた解の爆発の十分条件も古くから知られる.
後者においては解が半群を用いて積分方程式に書き直されることを用いるため, $p$ラプラス方程式などの準線形の問題に対してはあまり有効でない. 完全非線形な方程式に対してはどちらの手法も適用できないため, これまで研究があまりなされていないと考えられる. 主要部が線形ラプラシアンの場合, 方程式は藤田型方程式と一致する. 典型的な境界条件として斉次Dirichlet境界条件, 斉次Neumann境界条件が考えられる. これら二つの場合は大きく解構造が異なるがこれに相当することを完全非線形方程式で考察するのは自然である．方程式が完全非線形である場合, 解が連続関数の範疇であれば斉次Dirichlet境界条件を課すことは許容されるが, 斉次Neumann条件に相当する条件は存在せず, 境界条件をどう設定するかというところから考察すべき点である. ラプラシアンで記述されない方程式と境界条件を考察する際には完全非線形方程式を含む枠組みで(Neumann境界条件を念頭においた)境界条件の設定方法を構築し, 数学的理論を整備することは応募者の中長期的な研究課題となると考えている. この先にたどりついたとするとそれは本研究の主題である非線形境界条件の研究になると予想される.
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| Causes of Carryover |
昨今の感染症問題や国際情勢の悪化により研究開始当初に実行が想定された多くの研究活動が制限されたため使用予定額を大きく下回る状況になっている．感染症や国際情勢の改善により本研究課題が円滑に進むと考えている．
今年度においては可能な限り研究課題を遂行して最先端の知見を最短で獲得してゆく．
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