2022 Fiscal Year Annual Research Report
Viscosity solution theory for quasilinear PDEs, free boundary problems and thier applications
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18K13436
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| Research Institution | Tottori University of Environmental Studies |
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Principal Investigator |
小杉 卓裕 公立鳥取環境大学, 人間形成教育センター, 講師 (80816215)
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| Project Period (FY) |
2018-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 粘性解 / 完全非線形方程式 / 準線形作用素 / 藤田指数 / 筋骨格システム |
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| Outline of Annual Research Achievements |
退化/一様放物型方程式の障害物問題の近似解の収束率について研究を行った．2010年にL. C. Evansにより導入された随伴法を用いて私は2018年に一様線形楕円型方程式の障害物問題および勾配拘束問題に対する近似解の収束率を得ていたが，その拡張として退化しうる非線形作用素も含めた放物型方程式の障害物問題の近似解の収束率を得た．本研究はp-Laplacianや平均曲率流に現れる作用素も含まれる．この近似解の収束先は粘性解として特徴づけられる．本研究結果は現在投稿中である．本研究における近似解は数値計算でよく用いられるペナルティ法により立てた方程式の解をとっており離散化のサイズを決定する可能性があるという意味で重要である．
全空間において初期値が非負の完全非線形版藤田型方程式の弱結合による方程式系の時間大域解の存在を示した．方程式は一様放物型であるが，完全非線形のため本研究の解は粘性解の意味で扱う必要がある．まず，熱方程式の2階の項をプッチ作用素にしたときの解を生成する半群を用いて方程式系に対する積分方程式を立て，その時間局所解の存在を縮小写像の不動点定理によって示した．これにより元の方程式系の劣解，優解が得られるためPerronの方法により方程式系の時間局所解を得る．また，優臨界にあたるある指数の条件をみたすとき，完全非線形作用素に対応する固有値問題を考えることで方程式系の時間大域的な優解が得られるため，再びPerronの方法により時間大域解が得られる．本研究は完全非線形方程式に対する重要な先行研究の結果を用いており，それらも含めて準線形方程式への拡張が考えられる．
指の筋骨格を模したシステムのフィードフォワード制御可能性を考察し，その十分条件を得，数値計算による検証を行った．本研究は今後最適制御の問題を考えるときに粘性解理論と融合する可能性があり重要である．
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